Brevet de maths 2026 — Antilles-Guyane : le sujet et son corrigé

On lit toujours l’abscisse en premier : on regarde à quelle graduation de l’axe horizontal se trouve le point, ici $-2$. Puis l’ordonnée, sur l’axe vertical : $2$.

Le symétrique de K par rapport à O, c’est le point situé de l’autre côté de O, à la même distance : autrement dit, O doit être le milieu du segment qui joint K à son image.

Le plus sûr est de compter les carreaux. Pour aller de K à O, on se déplace de 2 carreaux vers la gauche et de 2 carreaux vers le haut. On refait exactement le même déplacement à partir de O — encore 2 à gauche et 2 en haut — et on tombe sur M.

Attention au point P : il est bien aligné avec K et O, mais il n’est qu’à mi-chemin. C’est le piège de la question.

L’aire d’un triangle vaut toujours $\dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$. Ici la base est $[AC]$ et la hauteur associée est $[BD]$, puisque $(BD)$ est perpendiculaire à $(AC)$.

La proposition qui additionne les trois côtés donne le périmètre, pas l’aire ; celle qui oublie de diviser par 2 donne le double de l’aire, c’est l’erreur la plus fréquente.

On compte les « pile » dans la liste : il y en a 4. Le nombre total de lancers est 10. La fréquence est le quotient du nombre de « pile » par le nombre total de lancers :

$\text{fréquence} = \frac{4}{10} = 0{,}4 = 40\ \%$

Deux pièges dans les propositions : $\dfrac{6}{10}$ correspond aux « face », et $\dfrac{4}{6}$ divise les « pile » par les « face » au lieu du total.

Prendre la moitié, c’est diviser par 2. Les autres propositions donnent le double ($2n$), le carré ($n^2$) ou une addition ($n+2$).

Une heure ne fait pas 100 minutes mais 60. Un dixième d’heure vaut donc :

$\frac{1}{10} \times 60 = \frac{60}{10} = 6 \text{ minutes}$

La réponse « 10 min » est là pour piéger ceux qui recopient le dénominateur.

On additionne toutes les valeurs, puis on divise par le nombre de valeurs. Le 10 apparaît deux fois : il compte deux fois, et la série contient bien 4 valeurs, pas 3.

$\frac{10 + 10 + 12 + 16}{4} = \frac{48}{4} = 12$

Le codage identique sur deux côtés signale un triangle isocèle : les deux angles à la base sont donc égaux, ce que confirme le $x$ écrit sur chacun d’eux.

La somme des angles d’un triangle vaut $180°$ :

$x + x + 120 = 180$

$2x = 60 \quad \text{donc} \quad x = 30$

L’erreur classique consiste à s’arrêter à $180 - 120 = 60$ en oubliant que ces $60°$ se partagent entre deux angles.

La durée s’obtient en divisant la distance par la vitesse :

$\frac{15}{20} = \frac{3}{4} = 0{,}75 \text{ heure}$

Sans calculatrice, on peut aussi raisonner par étapes : en 1 h le vélo parcourt 20 km, en une demi-heure 10 km, en un quart d’heure 5 km. Or $10 + 5 = 15$ km, d’où $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ d’heure.

Pour convertir en minutes, on multiplie par 60 : $0{,}75 \times 60 = 45$. Surtout pas « 0 h 75 », qui ne veut rien dire.

Le point A est situé entre T et M sur le segment $[TM]$. La longueur $AM$ est donc un morceau de $TM$ : on soustrait.

$AM = TM - AT = 7{,}7 - 2{,}2 = 5{,}5$

Additionner les deux nombres est l’erreur à éviter : $AM$ ne peut pas dépasser $7{,}7$ m.

Le triangle ABM est rectangle en A. L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit, c’est donc $[BM]$ — et c’est bien le plus long, 7,3 m. D’après le théorème de Pythagore :

$BM^2 = AB^2 + AM^2$

$7{,}3^2 = AB^2 + 5{,}5^2$

$53{,}29 = AB^2 + 30{,}25$

$AB^2 = 53{,}29 - 30{,}25 = 23{,}04$

$AB = \sqrt{23{,}04} = 4{,}8$

Deux réflexes qui coûtent cher : se tromper d’hypoténuse en écrivant $AB^2 = 7{,}3^2 + 5{,}5^2$, et oublier la racine carrée en annonçant 23,04 comme réponse. Ici la valeur est exacte, il n’y a aucun arrondi à faire.

On se place dans le triangle ABM rectangle en A et on regarde tout depuis le sommet B. Par rapport à cet angle, le côté opposé est $[AM]$ (5,5 m) et le côté adjacent est $[AB]$ (4,8 m) : c’est la tangente.

$\tan \widehat{ABM} = \frac{AM}{AB} = \frac{5{,}5}{4{,}8}$

$\widehat{ABM} = \tan^{-1}\left(\frac{5{,}5}{4{,}8}\right) \approx 48{,}89°$

Le sinus ou le cosinus donnent exactement le même angle, puisqu’on connaît les trois longueurs — c’est une bonne façon de vérifier. Deux vigilances : la calculatrice doit être en mode degré (DEG), et intervertir les côtés opposé et adjacent donnerait $41°$, qui est l’autre angle de la figure.

Les droites $(TM)$ et $(BE)$ se coupent en A, avec T, A, M alignés d’un côté et E, A, B alignés de l’autre : c’est la configuration papillon.

Comme c’est le parallélisme qu’on veut démontrer, on n’a pas le droit de le supposer : on calcule les deux rapports séparément, puis on constate qu’ils sont égaux.

$\frac{AT}{AM} = \frac{2{,}2}{5{,}5} = 0{,}4$

$\frac{AE}{AB} = \frac{1{,}92}{4{,}8} = 0{,}4$

Ces deux quotients sont égaux, donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(TE)$ et $(BM)$ sont parallèles.

La faute de rédaction la plus coûteuse ici, c’est d’écrire l’égalité des deux rapports dès la première ligne : ce serait utiliser ce qu’on cherche à prouver.

Le rapport se lit en deux temps. Sa valeur absolue est le coefficient d’agrandissement :

$\frac{AB}{AE} = \frac{4{,}8}{1{,}92} = 2{,}5 \quad \text{et de même} \quad \frac{AM}{AT} = \frac{5{,}5}{2{,}2} = 2{,}5$

Son signe est négatif, parce que le centre A se trouve entre chaque point et son image : la figure est retournée de l’autre côté du centre. C’est toute la différence entre la configuration papillon et la configuration triangle.

Le rapport $-0{,}4$ est celui de l’homothétie inverse, celle qui transformerait ABM en AET.

On déroule les étapes une par une, sans en sauter :

• on choisit 1 ;
• on soustrait 2 : $1 - 2 = -1$ ;
• on multiplie par 5 : $-1 \times 5 = -5$ ;
• on ajoute le triple du nombre de départ, soit $3 \times 1 = 3$ : $-5 + 3 = -2$.

a. On refait exactement les mêmes étapes, mais avec $x$ à la place d’un nombre :

• on choisit $x$ ;
• on soustrait 2 : $x - 2$ ;
• on multiplie par 5 : c’est tout le résultat précédent qui est multiplié, d’où les parenthèses, $5(x - 2) = 5x - 10$ ;
• on ajoute le triple du nombre de départ, soit $3x$ : $5x - 10 + 3x = 8x - 10$.

Deux pièges classiques : écrire $x - 2 \times 5$ sans parenthèses, et confondre « ajouter le triple du nombre de départ » (c’est $+3x$, on revient au nombre choisi) avec « tripler le résultat ».

b. On résout l’équation :

$8x - 10 = 0 \quad \text{donc} \quad 8x = 10 \quad \text{donc} \quad x = \frac{10}{8} = 1{,}25$

Rien n’oblige la solution à être un nombre entier — c’est déstabilisant, mais c’est correct. On peut vérifier : $1{,}25 - 2 = -0{,}75$, puis $-0{,}75 \times 5 = -3{,}75$, et $-3{,}75 + 3{,}75 = 0$.

a. Dans Scratch, la variable résultat est réécrite à chaque bloc : chaque ligne utilise la valeur calculée à la ligne précédente. On la suit pas à pas avec une réponse égale à 1 :

• « mettre résultat à $4 \times$ réponse » : résultat vaut $4$ ;
• « mettre résultat à résultat $- 5$ » : résultat vaut $4 - 5 = -1$ ;
• « mettre résultat à $2 \times$ résultat » : résultat vaut $2 \times (-1) = -2$ ;
• « Dire résultat » : le lutin affiche $-2$.

Traiter les trois blocs comme trois calculs indépendants est l’erreur la plus fréquente sur ce type de question.

b. On recommence avec un nombre quelconque $x$ comme réponse : le programme calcule successivement $4x$, puis $4x - 5$, puis $2(4x - 5)$. On développe :

$2(4x - 5) = 8x - 10$

C’est exactement l’expression trouvée à la question 2. a. pour le programme A. Les deux programmes donnent donc le même résultat quel que soit le nombre choisi.

Tester deux ou trois nombres ne suffit pas à répondre : l’énoncé demande « quel que soit le nombre », il faut donc passer par le calcul littéral.

L’abonnement se paie une seule fois dans l’année, puis chaque demi-journée s’ajoute :

$15 + 3{,}50 \times 12 = 15 + 42 = 57$

Il suffit de lire les deux ingrédients de chaque expression : le nombre ajouté tout seul est un abonnement ou un forfait, le nombre multiplié par $x$ est le prix d’une demi-journée.

• $f(x) = 15 + 3{,}5x$ : 15 € fixes, puis $3{,}50$ € par demi-journée — c’est le tarif B.
• $g(x) = 64$ : le prix ne dépend pas de $x$ — c’est le forfait, donc le tarif C.
• $h(x) = 5{,}5x$ : $5{,}50$ € par demi-journée, sans rien de fixe — c’est le tarif A.

Deux repères suffisent : l’endroit où la droite coupe l’axe vertical, et sa pente.

• La droite horizontale à la hauteur 64 ne bouge pas quand $x$ augmente : c’est $g$.
• La droite qui part de 15 sur l’axe vertical, et qui monte le moins vite, est celle de $f$ — logique, on paie l’abonnement même sans venir. Contrôle : pour $x = 4$, on lit 29 €, et $15 + 3{,}5 \times 4 = 29$.
• La droite qui passe par l’origine et qui est la plus raide est celle de $h$ : si on ne vient jamais, on ne paie rien. Contrôle : pour $x = 4$, on lit 22 €, et $5{,}5 \times 4 = 22$.

Une situation de proportionnalité est représentée par une droite qui passe par l’origine du repère. Or ici :

$f(0) = 15 + 3{,}5 \times 0 = 15$

La droite coupe l’axe vertical au point de coordonnées $(0\ ;\ 15)$ : elle ne passe pas par l’origine.

On peut aussi le montrer avec les quotients. Pour 2 demi-journées, le prix est de 22 € et $\frac{22}{2} = 11$ ; pour 4 demi-journées, il est de 29 € et $\frac{29}{4} = 7{,}25$. Les quotients ne sont pas constants : doubler le nombre de demi-journées ne double pas le prix, puisque l’abonnement ne se paie qu’une fois.

Répondre « non » sans justification ne rapporte rien : l’énoncé demande explicitement la démarche.

« Plus avantageux » veut dire « moins cher » : on cherche l’endroit où la droite du tarif B passe en dessous de celle du tarif A. Les deux droites se croisent en un point d’abscisse $7{,}5$, et c’est bien sur l’axe horizontal qu’on lit la réponse.

Comme on ne peut pas venir 7,5 demi-journées, il faut conclure sur un nombre entier. Le calcul le confirme : à 7 demi-journées le tarif B coûte $39{,}50$ € contre $38{,}50$ € pour le tarif A, tandis qu’à 8 demi-journées il coûte 43 € contre 44 €.

a. Une formule de tableur ne contient jamais la lettre $x$ : une donnée s’y désigne par l’adresse de sa cellule. Cela élimine déjà une proposition.

La formule =15+3,5*1 donnerait bien $18{,}5$ en B2, mais comme elle ne fait référence à aucune cellule, l’étirer vers la droite recopierait $18{,}5$ partout. C’est le mot « étirée » qui tranche.

La bonne formule va chercher le nombre de demi-journées écrit juste au-dessus : en B2 elle donne $15 + 3{,}5 \times 1 = 18{,}5$, et en glissant vers la droite la référence devient C1, D1, etc.

b. Le tarif C coûte 64 € quoi qu’il arrive. On parcourt la ligne du tarif B jusqu’à dépasser cette somme : à 13 demi-journées, $60{,}50$ € ; à 14 demi-journées, exactement 64 € ; à 15 demi-journées, $67{,}50$ €.

À 14 demi-journées, les deux tarifs coûtent la même chose : le tarif C n’est pas encore plus avantageux, il est équivalent. C’est le point le plus discriminant de l’exercice.