Résumé de cours

Fonctions linéaires et affines Mathématiques · 3e · Les Génies des Sciences · geniesdessciences.com

Ce résumé condense l’exigible du chapitre. Deux familles de fonctions dont les courbes sont des droites, et deux nombres qui disent tout : le coefficient directeur $a$ et l’ordonnée à l’origine $b$ .

Les deux définitions

Fonction linéaire

$f(x) = ax$

C’est la traduction d’une situation de proportionnalité, de coefficient a. Sa droite passe par l’origine du repère, car f(0) = 0.

Fonction affine

$f(x) = ax + b$

a est le coefficient directeur, b l’ordonnée à l’origine. Sa droite coupe l’axe des ordonnées au point (0 ; b). Si b = 0, la fonction est linéaire : toute fonction linéaire est affine.

Lire et interpréter la droite

L’ordonnée à l’origine $b$ : c’est $f(0)$ , la hauteur où la droite coupe l’axe des ordonnées.
Le coefficient directeur $a$ : quand $x$ augmente de $1$ , $f(x)$ augmente de $a$ . Droite qui monte : $a$ positif ; droite qui descend : $a$ négatif ; droite horizontale : $a = 0$ .
Pour tracer : deux points suffisent. On place $(0 ; b)$ , puis un second point calculé, et on trace la droite.

Déterminer a et b à partir de deux valeurs

Le coefficient directeur est un quotient d’écarts : écart des images divisé par écart des antécédents. Si f(1) = 5 et f(3) = 11, alors a = (11 − 5) ÷ (3 − 1) = 3. On trouve ensuite b en remplaçant : 5 = 3 × 1 + b donne b = 2, d’où f(x) = 3x + 2. Vérifie toujours avec le second point.

Les applications concrètes

Dans un problème de tarifs, le prix par unité (par séance, par km…) devient le coefficient $a$ , et le coût fixe (abonnement, forfait) devient le $b$ . Un tarif sans abonnement est modélisé par une fonction linéaire, un tarif avec abonnement par une fonction affine — et comparer deux tarifs revient à résoudre une équation ou à chercher le point d’intersection des deux droites.

Les pièges classiques

Les erreurs qui coûtent des points

Confondre a et b dans f(x) = 3x − 5 : le coefficient directeur est le nombre qui multiplie x (ici 3), et l’ordonnée à l’origine est −5, avec son signe. Croire que toute droite traduit une proportionnalité : c’est faux dès que b ≠ 0, car la droite ne passe plus par l’origine. Et oublier que f(0) = b, le réflexe qui débloque presque tous les exercices de détermination.

Exercices corrigés

Exercices — Fonctions linéaires et affines

4 exercices progressifs avec corrigés détaillés : reconnaître linéaire et affine, coefficient directeur et ordonnée à l'origine, déterminer une expression, comparer des tarifs.

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Quiz — Fonctions linéaires et affines

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