Exercices — Fonctions linéaires et affines

Rappel du cours : une fonction affine s’écrit $ax + b$ ; si $b = 0$, elle est de plus linéaire (forme $ax$).

1. $f(x) = 5x$ est linéaire (et donc aussi affine), avec $a = 5$ et $b = 0$.

2. $g(x) = -2x + 7$ est affine, avec $a = -2$ et $b = 7$. Elle n’est pas linéaire à cause du $+\ 7$.

3. $h(x) = x^2 + 1$ n’est ni linéaire ni affine : la variable est au carré, ce n’est pas de la forme $ax + b$. Sa représentation graphique n’est pas une droite.

4. $k(x) = \dfrac{x}{3}$ est linéaire : on peut l’écrire $k(x) = \dfrac{1}{3}x$, donc $a = \dfrac{1}{3}$ et $b = 0$.

Réflexe à retenir : toute fonction linéaire est affine (avec $b = 0$), mais la réciproque est fausse. Et diviser par $3$, c’est multiplier par $\dfrac{1}{3}$ !

1. On remplace $x$ par chaque valeur :

$f(0) = 2 \times 0 - 3 = -3$

$f(4) = 2 \times 4 - 3 = 5$

Remarque : $f(0) = -3$ est exactement l’ordonnée à l’origine $b$ — c’est toujours le cas.

2. On résout l’équation $f(x) = 7$ :

$2x - 3 = 7$

On ajoute $3$ à chaque membre :

$2x = 10$

On divise par $2$ :

$x = 5$

L’antécédent de $7$ par $f$ est $5$. Vérification : $f(5) = 2 \times 5 - 3 = 7$ ✓.

3. $f$ est affine, donc sa représentation graphique est une droite. Or une droite est entièrement déterminée par deux points : on place par exemple les points $(0 ; -3)$ et $(4 ; 5)$ trouvés à la question 1, puis on trace la droite qui les relie.

Astuce : choisis toujours $x = 0$ comme premier point (il donne directement l’ordonnée à l’origine) et un deuxième point avec un calcul simple. Un troisième point aligné est une bonne vérification.

$f$ est affine, donc de la forme $f(x) = ax + b$.

1. En remplaçant $x$ par $0$ : $f(0) = a \times 0 + b = b$. Comme $f(0) = 4$, on en déduit :

$b = 4$

L’ordonnée à l’origine d’une fonction affine, c’est toujours l’image de $0$.

2. Le coefficient directeur mesure l’accroissement de $f(x)$ quand $x$ augmente de $1$. Entre $x = 0$ et $x = 3$, la variable augmente de $3$ et l’image passe de $4$ à $10$, donc augmente de $6$ :

$a = \dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \dfrac{10 - 4}{3} = \dfrac{6}{3} = 2$

3. On obtient :

$f(x) = 2x + 4$

Vérification : $f(3) = 2 \times 3 + 4 = 10$ ✓. Enfin :

$f(10) = 2 \times 10 + 4 = 24$

Réflexe à retenir : pour déterminer une fonction affine, il faut deux informations — $b$ se lit avec $f(0)$, puis $a$ se calcule comme un quotient d’écarts (écart des images divisé par écart des antécédents).

1. Pour $4$ séances :

• Tarif A : $10 \times 4 = 40$ € ;
• Tarif B : $30 + 5 \times 4 = 30 + 20 = 50$ €.

Pour $4$ séances, le tarif A est plus avantageux.

2. Le prix par séance multiplie le nombre de séances $x$ ; l’abonnement, payé une seule fois, s’ajoute :

$A(x) = 10x \qquad B(x) = 5x + 30$

3. $A$ est une fonction linéaire (le prix est proportionnel au nombre de séances) : sa représentation graphique est une droite passant par l’origine, de coefficient directeur $10$.

$B$ est une fonction affine non linéaire : sa représentation graphique est une droite qui coupe l’axe des ordonnées au point $(0 ; 30)$ — même sans séance, on paie l’abonnement.

4. On résout $A(x) = B(x)$ :

$10x = 5x + 30$

On retire $5x$ à chaque membre :

$5x = 30$

On divise par $5$ :

$x = 6$

Les deux tarifs sont égaux pour $6$ séances (elles coûtent alors $60$ € dans les deux cas — c’est le point d’intersection des deux droites).

5. Pour $x = 9$ :

• Tarif A : $A(9) = 10 \times 9 = 90$ € ;
• Tarif B : $B(9) = 5 \times 9 + 30 = 75$ €.

Léa doit choisir le tarif B, qui lui fait économiser $15$ €.

Réflexe à retenir : dans un problème de tarifs, le prix « par unité » devient le coefficient $a$, et le coût fixe (abonnement, frais de dossier…) devient le $b$. Le tarif avec abonnement devient avantageux au-delà du point d’égalité.