Brevet de maths 2026 — Métropole : le sujet et son corrigé

$0{,}75 = \dfrac{75}{100}$, que l’on peut simplifier par 25 :

Les deux nombres ont des signes différents : on soustrait les distances à zéro ($4{,}7 - 3{,}5 = 1{,}2$) et on garde le signe de celui qui l’emporte, le négatif.

D’une ligne à l’autre, 6 devient 12 : on multiplie par 2. Donc $a = 18 \times 2$.

Il y a $10 + 4 + 6 = 20$ boules en tout, dont 4 bleues : la probabilité vaut $\dfrac{4}{20}$ (c’est-à-dire $\dfrac{1}{5}$, mais c’est la forme $\dfrac{4}{20}$ qui est proposée).

$10x = -64 - 16 = -80$, donc $x = -80 \div 10 = -8$.

En notation scientifique, un seul chiffre non nul s’écrit avant la virgule : $0{,}004\,58$, c’est $4{,}58$ divisé par $1\,000$.

Le piège du QCM : la proposition D ($458 \times 10^{-5}$) vaut aussi $0{,}004\,58$… mais $458$ n’est pas compris entre 1 et 10, ce n’est donc pas une notation scientifique.

Le secteur de la réponse B est marqué d’un angle droit : il représente un quart du disque, donc un quart des élèves.

$2 \times (10 + 5) = 30$. Et un périmètre est une longueur : il se mesure en mm, jamais en mm² — c’est là qu’est le piège du QCM.

Pour l’angle $\widehat{EDF}$ (au sommet D), le côté adjacent est $[DE]$ et l’hypoténuse est $[DF]$ :

$\cos \widehat{EDF} = \frac{DE}{DF} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

$\dfrac{4}{5}$, c’est le sinus — le piège classique du QCM de trigonométrie.

C’est une lecture directe : ligne « Pays-Bas », colonne « Or ».

Le total de l’Australie est 63, avec 17 médailles d’argent et 28 de bronze. Ses médailles d’or sont donc :

$63 - 17 - 28 = 18$

Attention : la réponse « 18 » seule peut perdre la moitié des points — la soustraction doit apparaître sur la copie.

La Grande-Bretagne compte 31 médailles de bronze sur 124 médailles au total :

$\frac{31}{124} = 0{,}25 = 25\ \%$

Or $25\ \% > 20\ \%$.

« Montrer que » signifie que le calcul est obligatoire : le résultat étant annoncé dans l’énoncé, les points sont dans la fraction, la conversion en pourcentage et la comparaison finale.

a. On range les 9 totaux dans l’ordre croissant — c’est la démarche demandée, elle est notée :

$56\ ;\ 63\ ;\ 71\ ;\ 75\ ;\ \mathbf{82}\ ;\ 89\ ;\ 105\ ;\ 124\ ;\ 220$

La série compte 9 valeurs : la médiane est la 5^e, celle qui laisse 4 valeurs de chaque côté.

b. Au moins la moitié de ces pays ont obtenu 82 médailles ou moins, et au moins la moitié en ont obtenu 82 ou plus. (La médiane n’est pas une moyenne : elle partage la série en deux moitiés, c’est tout ce qu’elle dit.)

L’augmentation est de $26 - 20 = 6$ médailles, à comparer à la valeur de départ :

$\frac{26 - 20}{20} = \frac{6}{20} = 0{,}30$

Le réflexe faux le plus fréquent est de diviser par 26 : un pourcentage d’évolution se calcule toujours par rapport à la valeur initiale.

Dans le triangle ABC, le côté le plus long est $[BC]$.

D’une part : $BC^2 = 8^2 = 64$.

D’autre part : $AB^2 + AC^2 = 6{,}4^2 + 4{,}8^2 = 40{,}96 + 23{,}04 = 64$.

On constate que $BC^2 = AB^2 + AC^2$ : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

Deux réflexes de rédaction : calculer les deux membres séparément avant de conclure, et citer la réciproque — on part des longueurs pour conclure sur l’angle droit, c’est bien elle qui s’applique.

Les droites (BD) et (CE) sont sécantes en A, et les droites (BC) et (DE) sont parallèles : d’après le théorème de Thalès :

$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \qquad\text{soit}\qquad \frac{4{,}8}{6{,}4} = \frac{AE}{4{,}8} = \frac{DE}{8}$

Or $4{,}8 \div 6{,}4 = 0{,}75$. On en déduit :

$DE = 8 \times 0{,}75 = 6 \qquad\text{et}\qquad AE = 4{,}8 \times 0{,}75 = 3{,}6$

Avant d’écrire les rapports, cite les deux hypothèses (sécantes en A, parallèles) : c’est ce qui autorise Thalès, et c’est du barème.

Les droites (BC) et (DE) sont parallèles, et la droite (BD) les coupe en B et en D. Les angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ADE}$ sont alternes-internes, formés par ces deux parallèles et cette sécante.

Or des angles alternes-internes définis par deux droites parallèles sont égaux.

La démarche attendue tient en deux mots : « alternes-internes » et « parallèles ». Dire « ça se voit sur la figure » ne rapporte rien.

Deux triangles sont semblables lorsque leurs angles sont deux à deux égaux.

• $\widehat{ABC} = \widehat{ADE}$ : c’est la question 3 — au brevet, une question « Montrer que » s’appuie presque toujours sur les précédentes, cite-les ;
• $\widehat{BAC} = \widehat{DAE}$ : ces angles sont opposés par le sommet A.

Deux paires d’angles égaux suffisent : la troisième suit, puisque la somme des angles d’un triangle vaut 180°.

Le triangle ABC est rectangle en A (question 1) : les diagonales (BD) et (CE) du quadrilatère BCDE sont donc perpendiculaires en A. L’idée qui rapporte le point : découper BCDE par sa diagonale $[BD]$ en deux triangles dont on connaît base et hauteur.

$BD = AB + AD = 6{,}4 + 4{,}8 = 11{,}2\ \text{cm}$

• triangle BCD, de base $[BD]$ et de hauteur $AC$ : aire $= \dfrac{11{,}2 \times 4{,}8}{2} = 26{,}88$ cm² ;
• triangle BED, de base $[BD]$ et de hauteur $AE$ : aire $= \dfrac{11{,}2 \times 3{,}6}{2} = 20{,}16$ cm².

$26{,}88 + 20{,}16 = 47{,}04$

On part de 3,6 sur l’axe des rayons, on monte jusqu’à la courbe, puis on lit à l’horizontale sur l’axe des volumes. Laisse tes traits de construction apparents et écris « environ » : c’est ce qui prouve la lecture.

Cette fois on cherche un antécédent : on part de 660 cm³ sur l’axe des volumes, on rejoint la courbe à l’horizontale, puis on descend vers l’axe des rayons.

$V = \frac{4}{3} \times \pi \times 2{,}5^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 15{,}625 \approx 65{,}45\ \text{cm}^3$

L’étape $2{,}5^3 = 2{,}5 \times 2{,}5 \times 2{,}5 = 15{,}625$ mérite d’être écrite : c’est elle qui montre que tu n’as pas confondu « au cube » et « fois 3 ».

$1\,000 \div 65{,}45 \approx 15{,}3$

On ne peut fabriquer que des boules entières : 15,3 ne s’arrondit pas à 16, car la 16^e boule ne pourrait pas être terminée ($16 \times 65{,}45 \approx 1\,047$ cm³ $> 1\,000$ cm³). Dans les problèmes « combien au maximum », on tronque toujours.

Chaque cm³ de plastique pèse 0,9 g, donc :

$m = 0{,}9 \times 65{,}45 \approx 58{,}9\ \text{g}$

En partant du volume arrondi : $0{,}9 \times 65 = 58{,}5$ g — accepté aussi, du moment que le calcul est écrit. Quand tu hésites entre multiplier et diviser, écris les unités : g/cm³ × cm³ = g, elles décident à ta place. (La masse volumique est aussi un chapitre de physique-chimie : même formule des deux côtés.)

$112 \div 16 = 7$ : les bonbons à la fraise se répartissent exactement — et c’est le piège, car il faut que 16 divise à la fois 112 et 140 :

$140 \div 16 = 8{,}75$

Ce n’est pas un nombre entier : 16 ne divise pas 140.

$140 = 2 \times 70 = 2 \times 2 \times 35 = 2 \times 2 \times 5 \times 7$

Le nombre de sachets doit diviser 112 et 140 : le maximum cherché est leur plus grand diviseur commun. Les décompositions sont là pour ça — si l’énoncé t’en donne une et t’en demande une autre, c’est qu’elles servent juste après :

$112 = 2^4 \times 7 \qquad 140 = 2^2 \times 5 \times 7$

Facteurs communs : $2^2$ et $7$, donc le plus grand diviseur commun vaut $2^2 \times 7 = 28$.

Chaque sachet contient alors $112 \div 28 = 4$ bonbons à la fraise et $140 \div 28 = 5$ bonbons au caramel.

Vérification : $28 \times 4 = 112$ et $28 \times 5 = 140$. Et attention, la question est double : s’arrêter à « 28 sachets » laisse la moitié des points sur la table.