Résumé de cours

Géométrie dans l'espace Mathématiques · 3e · Les Génies des Sciences · geniesdessciences.com

Ce résumé condense l’exigible du chapitre. Des formules de volumes à connaître par cœur — et un trio magique pour les agrandissements : k, k², k³.

Les volumes des solides usuels

Les solides « droits » : aire de la base × hauteur

$V_{\text{pavé}} = L \times l \times h \qquad V_{\text{cylindre}} = \pi r^2 h \qquad V_{\text{prisme}} = \text{aire de la base} \times h$

Même logique pour les trois : on multiplie l’aire de la base par la hauteur. Le résultat s’exprime en unités CUBES (cm³, m³…) et 1 L = 1 dm³ = 1000 cm³.

Les solides « pointus » et la boule

$V_{\text{pyramide}} = \dfrac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times h \qquad V_{\text{cône}} = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h \qquad V_{\text{boule}} = \dfrac{4}{3} \pi r^3$

Pyramide et cône : un tiers du prisme/cylindre correspondant. La formule de la boule est LA nouveauté de 3e. Pour un assemblage de solides, on additionne (ou soustrait) les volumes.

Les sections planes

Couper un solide par un plan donne une figure plane, la section :

Pavé droit coupé parallèlement à une face → un rectangle identique à cette face ;
Cylindre coupé perpendiculairement à son axe → un cercle identique à la base ; parallèlement à son axe → un rectangle ;
Sphère coupée par un plan → toujours un cercle, d’autant plus grand que le plan est proche du centre. S’il passe par le centre : un grand cercle, de même rayon que la sphère.

Se repérer sur la sphère

Un point du globe est repéré par deux angles : la latitude (position par rapport à l’équateur, de 0° à 90° Nord ou Sud — les parallèles) et la longitude (position par rapport au méridien de Greenwich, de 0° à 180° Est ou Ouest — les méridiens). Exemple : Paris (49° Nord ; 2° Est). L’équateur et les méridiens sont des grands cercles.

Agrandissement et réduction

Le trio k, k², k³

Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k : les longueurs sont multipliées par k, les aires par k² et les volumes par k³. Exemple avec k = 2 : longueurs doublées, aires × 4, volumes × 8. Pour une maquette à l’échelle 1/50, on divise les longueurs par 50, les aires par 2500 et les volumes par 125 000.

Les pièges classiques

Les erreurs qui coûtent des points

Confondre rayon et diamètre dans les formules (le diamètre, c’est 2r !). Oublier le 1/3 pour la pyramide et le cône. Multiplier un volume par k au lieu de k³ dans un agrandissement. Arrondir π trop tôt : garde la valeur exacte (avec π) jusqu’au bout. Et attention aux conversions : 1 m³ = 10⁶ cm³, pas 10³.

Exercices corrigés

Exercices — Géométrie dans l'espace

4 exercices progressifs avec corrigés détaillés : volumes du cylindre et de la boule, repérage sur la sphère et effet d'un agrandissement type brevet.

Gratuit

Teste-toi avec un quiz

Quiz — Géométrie dans l'espace

11 questions, correction immédiate