Les transformations du plan
Résumé de cours
Les transformations du plan Mathématiques · 3e · Les Génies des Sciences · geniesdessciences.com
Ce résumé condense l’exigible du chapitre. Cinq transformations à connaître — et une distinction clé : celles qui conservent les longueurs, et l’homothétie qui les modifie.
Les transformations qui conservent tout
Ces quatre transformations donnent une image superposable à la figure de départ : longueurs, angles, périmètres et aires sont conservés.
- Symétrie axiale (rappel) : effet miroir par rapport à une droite, la figure est « retournée » ;
- Symétrie centrale (rappel) : demi-tour autour d’un point — c’est la rotation d’angle 180° ;
- Translation : glissement, défini par une direction, un sens et une longueur — la figure ne tourne pas ;
- Rotation : la figure tourne autour d’un centre, d’un certain angle, dans un certain sens (horaire ou anti-horaire).
L’homothétie
L’homothétie de centre O et de rapport agrandit ou réduit une figure : chaque point s’éloigne (ou se rapproche) de O proportionnellement. Si est positif, l’image est du même côté que la figure ; si est négatif, l’image passe de l’autre côté du centre, « retournée ». Agrandissement si , réduction si .
Effets d’une homothétie de rapport k
Exemple avec k = −2 : les longueurs sont doublées (× 2), les angles ne changent pas, les aires sont multipliées par 4. La forme est conservée : figure et image sont semblables.
Reconnaître une transformation en deux questions
1. La taille change-t-elle ? Oui → homothétie. Non → question 2. 2. La figure a-t-elle glissé (translation), tourné (rotation) ou été retournée (symétrie axiale) ? Cas particulier : demi-tour = symétrie centrale = homothétie de rapport −1.
Frises, pavages, rosaces
Une frise répète un motif le long d’une bande par translations (parfois combinées à des symétries). Un pavage recouvre le plan sans trou ni chevauchement en répétant un motif par translations, rotations ou symétries. Une rosace s’obtient par rotations successives autour d’un centre (par exemple 6 rotations de 60°). Au brevet, on demande souvent d’identifier la transformation qui envoie un motif sur un autre : observe si le motif a glissé, tourné ou été retourné.
Les pièges classiques
Les erreurs qui coûtent des points
Multiplier l’aire par k au lieu de k² : avec k = 3, les aires sont multipliées par 9, pas par 3 ! Oublier que le rapport négatif place l’image de l’autre côté du centre (les longueurs, elles, sont multipliées par |k|, jamais par un nombre négatif). Et croire qu’une rotation modifie les longueurs : l’angle de rotation dit de combien la figure tourne, il ne change aucune mesure.