Les transformations du plan

Ce résumé condense l’exigible du chapitre. Cinq transformations à connaître — et une distinction clé : celles qui conservent les longueurs, et l’homothétie qui les modifie.

Les transformations qui conservent tout

Ces quatre transformations donnent une image superposable à la figure de départ : longueurs, angles, périmètres et aires sont conservés.

• Symétrie axiale (rappel) : effet miroir par rapport à une droite, la figure est « retournée » ;
• Symétrie centrale (rappel) : demi-tour autour d’un point — c’est la rotation d’angle 180° ;
• Translation : glissement, défini par une direction, un sens et une longueur — la figure ne tourne pas ;
• Rotation : la figure tourne autour d’un centre, d’un certain angle, dans un certain sens (horaire ou anti-horaire).

L’homothétie

L’homothétie de centre O et de rapport $k$ agrandit ou réduit une figure : chaque point s’éloigne (ou se rapproche) de O proportionnellement. Si $k$ est positif, l’image est du même côté que la figure ; si $k$ est négatif, l’image passe de l’autre côté du centre, comme après un demi-tour autour de O (elle n’est pas retournée comme dans un miroir). Agrandissement si $k$, sans son signe, est plus grand que 1 ; réduction s’il est plus petit que 1.

Frises, pavages, rosaces

Une frise répète un motif le long d’une bande par translations (parfois combinées à des symétries). Un pavage recouvre le plan sans trou ni chevauchement en répétant un motif par translations, rotations ou symétries. Une rosace s’obtient par rotations successives autour d’un centre (par exemple 6 rotations de 60°). Au brevet, on demande souvent d’identifier la transformation qui envoie un motif sur un autre : observe si le motif a glissé, tourné ou été retourné.

Les pièges classiques