Les transformations du plan 3e : exercices corrigés (PDF)

Glisser, retourner, faire un demi-tour, tourner, agrandir : une transformation se reconnaît d’abord à l’œil, sur une frise, un pavage ou un quadrillage. En 3e, la rotation et l’homothétie rejoignent les symétries et la translation, et la même question revient souvent : parmi les longueurs, les angles, les aires et parfois les volumes, qu’est-ce qui change, et qu’est-ce qui ne change pas ? Les trois premiers exercices vérifient que le cours est compris, sans calcul : deux quiz, dont un sur un quadrillage, et un texte à trous, corrigés dès que tu valides. Les deux suivants se rédigent au brouillon, avec un corrigé détaillé comme au tableau : une construction sur quadrillage, puis un gobelet conique rempli à mi-hauteur, comme en évaluation.

Les transformations du plan : l’essentiel

La symétrie axiale

Définie par un axe (d). La figure est retournée de l’autre côté de l’axe, comme dans un miroir.

La symétrie centrale

Définie par un centre O. La figure fait un demi-tour autour de O : c’est aussi la rotation de centre O d’angle 180°.

La translation

Définie par un glissement : une direction, un sens et une longueur, que donne la flèche. La figure glisse sans tourner.

La rotation

Définie par un centre, un angle et un sens. Ici, un quart de tour de centre O, dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

Ces quatre transformations conservent les longueurs, les angles, les aires, l’alignement et le parallélisme : l’image est superposable à la figure de départ.

L’homothétie

Définie par un centre O et un rapport k, un nombre non nul.

Rapport 2 : l’image est du même côté de O, deux fois plus grande.

Rapport −2 : l’image est de l’autre côté de O, deux fois plus grande, et elle a fait un demi-tour.

Les longueurs sont multipliées par k sans son signe : c’est un agrandissement s’il est plus grand que 1, une réduction s’il est plus petit que 1. Les angles sont conservés, les aires sont multipliées par k².

Agrandissement ou réduction de rapport k : longueurs × k · aires × k² · volumes × k³

Thalès et l’homothétie

Dans une configuration de Thalès de sommet A, les deux triangles se correspondent par une homothétie de centre A : de rapport positif pour les triangles emboîtés, négatif pour le papillon.

La carte du chapitre. Pour reconnaître une transformation, regarde d’abord si la taille change, puis si la figure a glissé, tourné, fait un demi-tour ou été retournée.

Avant de te lancer : pour les exercices 4 et 5, cherche au brouillon avant d’ouvrir le corrigé : c’est en te trompant que tu progresses. Pour l’exercice 4, reproduis la figure sur une feuille à petits carreaux, ou imprime la fiche PDF : le quadrillage y est. Les exercices réussis se cochent au fur et à mesure, et la page retient où tu en es.

Exercice 3

Conservations, rapport k et Thalès : le cours en un paragraphe

★★★

Le cours en un texte à trous

Une rotation est définie par un centre, un angle et . La symétrie de centre O est la rotation de centre O et d'angle . Comme la symétrie axiale et la translation, ces transformations conservent les longueurs, les angles et : l'image est superposable à la figure de départ. Une homothétie, elle, conserve : l'image a la même forme que la figure, mais pas forcément la même taille. Avec un rapport de 3, les longueurs sont multipliées par et les aires par . Avec un rapport de −0,5, l'image est et les longueurs sont : la figure est . Si l'on agrandit un solide dans le rapport 2, son volume est multiplié par . Enfin, dans une configuration de Thalès de sommet A, les deux triangles se correspondent par une homothétie de centre .

Exercice 4

Construire l'image d'un triangle par une rotation et une homothétie

★★★

Construire sur un quadrillage, puis calculer longueurs et aires

Sur le quadrillage ci-dessous, on considère que le côté d’un carreau mesure 1 cm. Le triangle ABC est rectangle en A.

Document. Le triangle ABC et le point O sur un quadrillage dont le carreau mesure 1 cm.

Construire le triangle A’B’C’, image du triangle ABC par la rotation de centre O, d’angle 90°, dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
Construire le triangle DEF, image du triangle ABC par l’homothétie de centre O et de rapport −2 : les points D, E et F sont les images des points A, B et C.
Lire sur le quadrillage les longueurs AB et AC, puis calculer l’aire du triangle ABC.
Sans mesurer, donner les longueurs A’B’ et A’C’ et l’aire du triangle A’B’C’. Justifier.
Sans mesurer, donner les longueurs DE et DF, et dire si le triangle DEF est rectangle. Lucas affirme : « Le rapport vaut −2, donc l’aire du triangle DEF est le double de celle du triangle ABC. » A-t-il raison ?

Voir le corrigé

1. Sur un quadrillage, on repère chaque sommet par le chemin, en carreaux, qui le relie au centre O. Un quart de tour dans le sens inverse des aiguilles d’une montre change chaque déplacement vers la droite en un déplacement vers le haut, et chaque déplacement vers le haut en un déplacement vers la gauche, sans changer le nombre de carreaux :

pour aller de O à A : 1 carreau vers la droite, puis 1 vers le haut ; donc pour aller de O à A’ : 1 carreau vers le haut, puis 1 vers la gauche ;
de O à B : 5 vers la droite, puis 1 vers le haut ; donc de O à B’ : 5 vers le haut, puis 1 vers la gauche ;
de O à C : 1 vers la droite, puis 4 vers le haut ; donc de O à C’ : 1 vers le haut, puis 4 vers la gauche.

On relie A’, B’ et C’ : c’est le triangle violet de la figure ci-dessous. Contrôle : A’B’C’ a les mêmes dimensions que ABC, et ses côtés de l’angle droit ont tourné d’un quart de tour : [A’B’] est vertical, [A’C’] est horizontal.

2. Pour l’homothétie de rapport −2, on double chaque déplacement depuis O, et on le fait dans le sens contraire, puisque le rapport est négatif :

de O à A : 1 vers la droite, puis 1 vers le haut ; donc de O à D : 2 vers la gauche, puis 2 vers le bas ;
de O à B : 5 vers la droite, puis 1 vers le haut ; donc de O à E : 10 vers la gauche, puis 2 vers le bas ;
de O à C : 1 vers la droite, puis 4 vers le haut ; donc de O à F : 2 vers la gauche, puis 8 vers le bas.

Les points A, O et D sont alignés, et O est entre A et D : c’est le pointillé de la figure. Le triangle DEF est le triangle jaune.

En violet, l'image par le quart de tour ; en jaune, l'image par l'homothétie de rapport −2.

3. Le côté [AB] est horizontal et couvre 4 carreaux, le côté [AC] est vertical et en couvre 3 : AB = 4 cm et AC = 3 cm. Le triangle est rectangle en A, donc [AB] est une base et [AC] la hauteur qui lui correspond :

$\text{Aire de } ABC = \dfrac{AB \times AC}{2} = \dfrac{4\ \text{cm} \times 3\ \text{cm}}{2} = 6\ \text{cm}^2$

4. Une rotation conserve les longueurs et les aires. Donc A’B’ = AB = 4 cm, A’C’ = AC = 3 cm, et le triangle A’B’C’ a la même aire que le triangle ABC : 6 cm². La figure le confirme : [A’B’] couvre 4 carreaux et [A’C’] en couvre 3.

5. Dans une homothétie de rapport −2, les longueurs sont multipliées par 2, le rapport sans son signe moins :

$DE = 2 \times AB = 2 \times 4\ \text{cm} = 8\ \text{cm} \qquad DF = 2 \times AC = 2 \times 3\ \text{cm} = 6\ \text{cm}$

Une homothétie conserve les angles : l’angle $\widehat{EDF}$ mesure 90°, comme l’angle $\widehat{BAC}$ , et le triangle DEF est rectangle en D. Lucas se trompe : les aires sont multipliées par le carré du rapport, $(-2)^2 = 4$ , et non par 2.

$\text{Aire de } DEF = 4 \times 6\ \text{cm}^2 = 24\ \text{cm}^2$

Contrôle direct : $\dfrac{DE \times DF}{2} = \dfrac{8\ \text{cm} \times 6\ \text{cm}}{2} = 24\ \text{cm}^2$ . L’aire du triangle DEF est le quadruple de celle du triangle ABC.

Réflexe à retenir : sur un quadrillage, construis l’image d’un point en suivant son chemin en carreaux depuis le centre. Pour un quart de tour, le chemin tourne ; pour une homothétie, il est multiplié par le rapport sans son signe, et parcouru dans l’autre sens si le rapport est négatif.

Je l’ai réussi (ta coche reste enregistrée sur cet appareil)

Exercice 5

Réduction d'un cône : Thalès, homothétie et volume

★★★

Type évaluation, avec un document à exploiter

À la fontaine à eau du collège, les gobelets en papier ont la forme d’un cône, la pointe en bas. Hugo remplit un gobelet jusqu’à 5 cm de hauteur, et pense qu’il est à moitié plein.

Document. Le gobelet en perspective, puis sa coupe par un plan qui contient son axe (SH).

Fiche du fournisseur : gobelet conique en papier ; diamètre de l’ouverture : 8 cm ; profondeur : 10 cm ; contenance : environ 17 cL.

Sur la coupe : S est la pointe du gobelet, [AB] est un diamètre de l’ouverture, de milieu H, et la droite (SH) est l’axe du gobelet. L’eau monte jusqu’au point K de [SH], avec SK = 5 cm ; sa surface est un disque de rayon KM, et les droites (KM) et (HA) sont parallèles.

Rappels : volume d’un cône = (aire de la base × hauteur) ÷ 3 ; aire d’un disque de rayon r = π × r × r ; 1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³ et 1 L = 100 cL.

Calculer le volume du gobelet, en cm³, arrondi à l’unité. La contenance annoncée par le fournisseur est-elle cohérente ?
Calculer KM, le rayon de la surface de l’eau.
Le triangle SKM est l’image du triangle SHA par une homothétie. Préciser son centre et son rapport. En déduire que l’eau forme un cône qui est une réduction du gobelet, et donner le rapport de cette réduction.
Calculer le volume d’eau, arrondi au dixième de cm³. Hugo a-t-il raison ?
Vérifier qu’en remplissant le gobelet jusqu’à 8 cm de hauteur, on dépasse un peu la moitié de son volume.

Voir le corrigé

1. Le rayon de l’ouverture est la moitié du diamètre : 8 cm ÷ 2 = 4 cm. La base du cône est un disque de rayon 4 cm :

$\text{Aire de la base} = \pi \times 4\ \text{cm} \times 4\ \text{cm} = 16\pi\ \text{cm}^2$

La hauteur du cône est la profondeur du gobelet, 10 cm. On note V le volume du gobelet :

$V = \dfrac{16\pi\ \text{cm}^2 \times 10\ \text{cm}}{3} = \dfrac{160\pi}{3}\ \text{cm}^3 \approx 168\ \text{cm}^3$

Le gobelet a un volume d’environ 168 cm³. Comme 1 L = 1 000 cm³ et 1 L = 100 cL, 1 cL vaut 1 000 cm³ ÷ 100 = 10 cm³ : 168 cm³ font 16,8 cL, soit environ 17 cL. La contenance annoncée est cohérente.

2. Les points S, K et H sont alignés, les points S, M et A sont alignés, et les droites (KM) et (HA) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès, dans le triangle SHA :

$\dfrac{SK}{SH} = \dfrac{SM}{SA} = \dfrac{KM}{HA}$

avec SH = 10 cm, la profondeur, et HA = 4 cm, le rayon de l’ouverture. On garde l’égalité qui contient KM :

$\dfrac{5\ \text{cm}}{10\ \text{cm}} = \dfrac{KM}{4\ \text{cm}} \quad \text{donc} \quad KM = \dfrac{5\ \text{cm} \times 4\ \text{cm}}{10\ \text{cm}} = 2\ \text{cm}$

Le rayon de la surface de l’eau est KM = 2 cm.

3. D’après les égalités de la question 2, le point K est sur la demi-droite [SH) avec SK = 0,5 × SH, et le point M est sur la demi-droite [SA) avec SM = 0,5 × SA. Le triangle SKM est donc l’image du triangle SHA par l’homothétie de centre S et de rapport :

$\dfrac{SK}{SH} = \dfrac{5\ \text{cm}}{10\ \text{cm}} = 0{,}5$

Le rapport est positif : K et M sont du même côté de S que H et A. Le même raisonnement vaut pour toutes les coupes qui passent par l’axe : l’eau forme un cône de même pointe S, qui est une réduction du gobelet de rapport 0,5. Sa hauteur, 5 cm, et son rayon, 2 cm, sont bien les moitiés de 10 cm et de 4 cm.

La coupe : le triangle SKM, en corail, est l'image du triangle SHA par l'homothétie de centre S et de rapport 0,5.

4. Dans une réduction de rapport 0,5, les volumes sont multipliés par le cube du rapport :

$0{,}5^3 = 0{,}5 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}125$

On note $V_{\text{eau}}$ le volume d’eau :

$V_{\text{eau}} = 0{,}125 \times \dfrac{160\pi}{3}\ \text{cm}^3 = \dfrac{20\pi}{3}\ \text{cm}^3 \approx 20{,}9\ \text{cm}^3$

Contrôle direct, avec un cône de rayon 2 cm et de hauteur 5 cm : $\dfrac{\pi \times 2\ \text{cm} \times 2\ \text{cm} \times 5\ \text{cm}}{3} = \dfrac{20\pi}{3}\ \text{cm}^3$ . Hugo se trompe : 0,125 est un huitième, l’eau n’occupe que le huitième du gobelet, environ 20,9 cm³ sur 168 cm³. Rempli à mi-hauteur, un cône posé sur sa pointe est loin d’être à moitié plein : toute la partie large reste au-dessus de l’eau.

5. À 8 cm de hauteur, l’eau forme une réduction du gobelet de rapport $\dfrac{8\ \text{cm}}{10\ \text{cm}} = 0{,}8$ . Son volume est celui du gobelet multiplié par $0{,}8^3 = 0{,}512$ :

$0{,}512 \times \dfrac{160\pi}{3}\ \text{cm}^3 \approx 85{,}8\ \text{cm}^3$

La moitié du volume du gobelet vaut $\dfrac{160\pi}{3}\ \text{cm}^3 \div 2 \approx 83{,}8\ \text{cm}^3$ . Comme 85,8 cm³ dépasse 83,8 cm³, le gobelet rempli jusqu’à 8 cm est un peu plus qu’à moitié plein : 0,512 est un peu plus grand que 0,5.

Réflexe à retenir : pour un solide réduit, cherche d’abord le rapport, une longueur de la réduction divisée par la longueur qui lui correspond. Choisis ensuite l’exposant selon la grandeur demandée : 1 pour une longueur, 2 pour une aire, 3 pour un volume.

Je l’ai réussi (ta coche reste enregistrée sur cet appareil)

Les trois réflexes à retenir

La taille d’abord, le mouvement ensuite. Si la taille change, c’est une homothétie. Sinon, regarde si la figure a glissé (translation), tourné autour d’un point (rotation), fait un demi-tour (symétrie centrale) ou été retournée comme dans un miroir (symétrie axiale).
Le rapport k donne deux informations. Son signe dit de quel côté du centre se trouve l’image ; le nombre sans son signe multiplie les longueurs. Une longueur reste positive, même avec un rapport négatif.
Une longueur, une aire, un volume : trois exposants. Avec un rapport k, les longueurs sont multipliées par k, les aires par k² et les volumes par k³ (k sans son signe). Relis la grandeur demandée avant de choisir.

Pour aller plus loin, les exercices sur le théorème de Thalès reprennent la configuration du gobelet, et les exercices de géométrie dans l’espace les volumes des solides.

Exercices corrigés — Les transformations du plan

Reconnaître une transformation et ce qu'elle conserve

Identifier une transformation sur un quadrillage