3e Mathématiques Exercices Gratuit

Exercices — Les transformations du plan

💡 Conseil : fais chaque exercice au brouillon avant d’ouvrir le corrigé — c’est en te trompant que tu progresses.

Exercice 1 — Reconnaître une transformation

Dans chaque cas, indique de quelle transformation il s’agit (translation, rotation, symétrie axiale, symétrie centrale ou homothétie) :

  1. Le motif 2 d’une frise est obtenu en faisant glisser le motif 1 de 5 cm vers la droite, sans le tourner ni le retourner.
  2. La figure B est obtenue en faisant tourner la figure A d’un quart de tour autour d’un point O, dans le sens des aiguilles d’une montre.
  3. La figure D est un agrandissement de la figure C : toutes ses longueurs sont trois fois plus grandes, et les droites joignant les points de C à leurs images passent toutes par un même point O.
  4. La figure F est l’image de la figure E « retournée » de l’autre côté d’une droite (d), comme dans un miroir.
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1. Un glissement sans rotation ni retournement : c’est une translation (ici de 5 cm vers la droite). C’est la transformation typique des frises.

2. Un quart de tour autour d’un point : c’est une rotation de centre O, d’angle 90°, dans le sens horaire. Pour définir une rotation, il faut bien ces trois informations : centre, angle, sens.

3. Les longueurs sont multipliées par 3 et les droites point-image passent par un même point O : c’est une homothétie de centre O et de rapport 3.

4. Un retournement par rapport à une droite, « effet miroir » : c’est une symétrie axiale d’axe (d).

Réflexe à retenir : pour identifier une transformation, pose-toi deux questions : la taille change-t-elle ? (oui → homothétie) et la figure a-t-elle glissé, tourné ou été retournée ?

Exercice 2 — Utiliser les propriétés de conservation

Le triangle ABC est tel que AB=4 cmAB = 4\ \text{cm}, BC=5 cmBC = 5\ \text{cm}, CA=6 cmCA = 6\ \text{cm} et BAC^=56°\widehat{BAC} = 56°. Le triangle A’B’C’ est l’image du triangle ABC par la rotation de centre O, d’angle 74°, dans le sens anti-horaire.

  1. Donne, sans calcul, les longueurs A’B’, B’C’ et C’A’. Justifie.
  2. Quelle est la mesure de l’angle B′A′C′^\widehat{B'A'C'} ?
  3. Compare le périmètre et l’aire des deux triangles.
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1. Une rotation conserve les longueurs. Donc :

A′B′=AB=4 cmB′C′=BC=5 cmC′A′=CA=6 cmA'B' = AB = 4\ \text{cm} \qquad B'C' = BC = 5\ \text{cm} \qquad C'A' = CA = 6\ \text{cm}

Attention : l’angle de la rotation (74°) ne sert à rien ici ! Il indique de combien la figure a tourné, pas une modification des longueurs.

2. Une rotation conserve aussi les mesures des angles :

B′A′C′^=BAC^=56°\widehat{B'A'C'} = \widehat{BAC} = 56°

3. Puisque toutes les longueurs sont conservées, le périmètre est le même (4+5+6=15 cm4 + 5 + 6 = 15\ \text{cm}), et l’aire est la même aussi : les deux triangles sont superposables.

Réflexe à retenir : symétries, translations et rotations conservent tout — longueurs, angles, périmètres, aires. On dit que l’image est superposable à la figure de départ.

Exercice 3 — Calculer avec une homothétie

On considère l’homothétie de centre O et de rapport 3. Le point A’ est l’image du point A, et le point B’ est l’image du point B. On donne OA=2 cmOA = 2\ \text{cm} et AB=4 cmAB = 4\ \text{cm}.

  1. Calcule OA’.
  2. Calcule A’B’.
  3. Même question si le rapport de l’homothétie est −3-3 : que deviennent OA’ et A’B’, et où se trouve A’ par rapport à O ?
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1. Dans une homothétie de rapport 3, toutes les distances depuis le centre sont multipliées par 3 :

OA′=3×OA=3×2=6 cmOA' = 3 \times OA = 3 \times 2 = 6\ \text{cm}

Le point A’ est sur la demi-droite [OA)[OA), du même côté que A.

2. Les longueurs de la figure sont elles aussi multipliées par le rapport :

A′B′=3×AB=3×4=12 cmA'B' = 3 \times AB = 3 \times 4 = 12\ \text{cm}

3. Avec le rapport −3-3, les longueurs sont multipliées par ∣−3∣=3|-3| = 3 : on trouve les mêmes valeurs, OA′=6 cmOA' = 6\ \text{cm} et A′B′=12 cmA'B' = 12\ \text{cm}. La différence est la position : A’ se trouve sur la droite (OA)(OA) mais de l’autre côté du centre O, et la figure image est « retournée » (comme après un demi-tour).

Réflexe à retenir : le signe du rapport indique de quel côté du centre se trouve l’image ; sa valeur absolue indique le coefficient d’agrandissement ou de réduction (agrandissement si elle dépasse 1, réduction si elle est plus petite que 1).

Exercice 4 — Homothétie, longueurs et aires (extrait type brevet ⭐)

Le triangle A’B’C’ est l’image du triangle ABC par l’homothétie de centre O et de rapport −2-2. On donne AB=3 cmAB = 3\ \text{cm}, BAC^=40°\widehat{BAC} = 40°, OA=2,5 cmOA = 2{,}5\ \text{cm} et l’aire du triangle ABC vaut 2,7 cm22{,}7\ \text{cm}^2.

  1. Calcule A’B’.
  2. Quelle est la mesure de l’angle B′A′C′^\widehat{B'A'C'} ?
  3. Calcule OA’. Où le point A’ se trouve-t-il par rapport à O et A ?
  4. Calcule l’aire du triangle A’B’C’.
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1. Les longueurs sont multipliées par ∣−2∣=2|-2| = 2 :

A′B′=2×AB=2×3=6 cmA'B' = 2 \times AB = 2 \times 3 = 6\ \text{cm}

2. Une homothétie conserve les mesures des angles :

B′A′C′^=BAC^=40°\widehat{B'A'C'} = \widehat{BAC} = 40°

3. Les distances au centre sont aussi multipliées par 2 :

OA′=2×OA=2×2,5=5 cmOA' = 2 \times OA = 2 \times 2{,}5 = 5\ \text{cm}

Comme le rapport est négatif, A’ se trouve sur la droite (OA)(OA), mais de l’autre côté de O par rapport à A : O est entre A et A’.

4. Attention, c’est LE piège : les aires sont multipliées par le carré du rapport, c’est-à-dire par (−2)2=4(-2)^2 = 4 :

Aire de A’B’C’=4×2,7=10,8 cm2\text{Aire de A'B'C'} = 4 \times 2{,}7 = 10{,}8\ \text{cm}^2

Astuce de vérification : le carré d’un nombre est toujours positif, donc une aire image est toujours positive, même avec un rapport négatif ✓. Retiens le trio du brevet : longueurs × |k|, angles conservés, aires × k².

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