Les transformations du plan 3e : résumé de cours

Ce résumé condense l’exigible du chapitre. Cinq transformations à connaître — et une distinction clé : celles qui conservent les longueurs, et l’homothétie qui les modifie.

Les transformations qui conservent tout

Ces quatre transformations donnent une image superposable à la figure de départ : longueurs, angles, périmètres et aires sont conservés.

Symétrie axiale (rappel) : effet miroir par rapport à une droite, la figure est « retournée » ;
Symétrie centrale (rappel) : demi-tour autour d’un point — c’est la rotation d’angle 180° ;
Translation : glissement, défini par une direction, un sens et une longueur — la figure ne tourne pas ;
Rotation : la figure tourne autour d’un centre, d’un certain angle, dans un certain sens (horaire ou anti-horaire).

L’homothétie

L’homothétie de centre O et de rapport $k$ agrandit ou réduit une figure : chaque point s’éloigne (ou se rapproche) de O proportionnellement. Si $k$ est positif, l’image est du même côté que la figure ; si $k$ est négatif, l’image passe de l’autre côté du centre, comme après un demi-tour autour de O (elle n’est pas retournée comme dans un miroir). Agrandissement si $k$ , sans son signe, est plus grand que 1 ; réduction s’il est plus petit que 1.

Effets d’une homothétie de rapport k

$\text{longueurs} \times k \text{ (sans son signe)} \qquad \text{angles conservés} \qquad \text{aires} \times k^2$

Exemple avec k = −2 : les longueurs sont doublées (× 2), les angles ne changent pas, les aires sont multipliées par 4. La forme est conservée : figure et image sont semblables.

Reconnaître une transformation en deux questions

1. La taille change-t-elle ? Oui → homothétie. Non → question 2. 2. La figure a-t-elle glissé (translation), tourné (rotation) ou été retournée (symétrie axiale) ? Cas particulier : demi-tour = symétrie centrale = homothétie de rapport −1.

Frises, pavages, rosaces

Une frise répète un motif le long d’une bande par translations (parfois combinées à des symétries). Un pavage recouvre le plan sans trou ni chevauchement en répétant un motif par translations, rotations ou symétries. Une rosace s’obtient par rotations successives autour d’un centre (par exemple 6 rotations de 60°). Au brevet, on demande souvent d’identifier la transformation qui envoie un motif sur un autre : observe si le motif a glissé, tourné ou été retourné.

Les pièges classiques

Les erreurs qui coûtent des points

Multiplier l’aire par k au lieu de k² : avec k = 3, les aires sont multipliées par 9, pas par 3 ! Oublier que le rapport négatif place l’image de l’autre côté du centre (une longueur reste positive : avec k = −2, les longueurs sont multipliées par 2). Et croire qu’une rotation modifie les longueurs : l’angle de rotation dit de combien la figure tourne, il ne change aucune mesure.

Résumé — Les transformations du plan