Exercices — Géométrie dans l'espace

1. Le volume d’un cylindre est l’aire de sa base (un disque) multipliée par sa hauteur :

$V = \pi \times r^2 \times h$

2. On remplace par les valeurs :

$V = \pi \times 4^2 \times 11 = 176\pi \approx 553\ \text{cm}^3$

La valeur exacte est $176\pi\ \text{cm}^3$ ; la valeur arrondie est $553\ \text{cm}^3$.

3. On convertit : $553\ \text{cm}^3 = 0{,}553\ \text{L}$, soit environ un demi-litre — cohérent pour une boîte de conserve ✓.

Réflexe à retenir : au brevet, quand on demande la valeur exacte, il faut laisser π dans le résultat ($176\pi$), sans l’arrondir. On n’arrondit qu’à la toute fin, si l’énoncé le demande.

1. Volume du cône : un tiers de l’aire de la base multipliée par la hauteur :

$V_{\text{cône}} = \dfrac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 10 = 30\pi\ \text{cm}^3$

2. Volume d’une boule : $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$. Pour une demi-boule, on divise par 2 :

$V_{\text{demi-boule}} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3} \times \pi \times 3^3 = \dfrac{2}{3} \times \pi \times 27 = 18\pi\ \text{cm}^3$

3. On additionne les deux volumes (l’intérêt d’avoir gardé les valeurs exactes : le calcul avec π est immédiat) :

$V = 30\pi + 18\pi = 48\pi \approx 151\ \text{cm}^3$

Réflexe à retenir : pour un assemblage de solides, on calcule chaque volume séparément puis on additionne (ou on soustrait, pour un volume creusé). Garder π jusqu’au bout évite les erreurs d’arrondi.

1. La latitude est l’angle qui mesure la position du point par rapport à l’équateur : de 0° à 90°, vers le Nord ou vers le Sud. La longitude est l’angle qui mesure sa position par rapport au méridien de Greenwich : de 0° à 180°, vers l’Est ou vers l’Ouest. Les deux angles ensemble repèrent un point unique sur la sphère.

2. C’est Le Cap : sa latitude est 34° Sud, il est donc au sud de l’équateur. Paris (49° Nord) est dans l’hémisphère Nord.

3. Une latitude de 0° signifie que Quito est située sur l’équateur — le grand cercle qui sépare les deux hémisphères. (C’est d’ailleurs l’origine du nom de son pays, l’Équateur !)

4. Le pôle Nord est le point le plus au nord possible : sa latitude vaut 90° Nord. Sa longitude n’est pas définie : tous les méridiens s’y rejoignent.

Réflexe à retenir : latitude = parallèles (cercles horizontaux, l’équateur est le plus grand) ; longitude = méridiens (demi-grands cercles passant par les pôles). Un point = un couple (latitude ; longitude), comme des coordonnées sur la sphère.

Le monument réel est un agrandissement de la maquette de rapport $k = 50$. On applique le trio du cours : longueurs × k, aires × k², volumes × k³.

1. Les longueurs sont multipliées par 50 :

$36 \times 50 = 1800\ \text{cm} = 18\ \text{m}$

2. Les aires sont multipliées par $k^2 = 50^2 = 2500$ :

$48 \times 2500 = 120\,000\ \text{cm}^2$

On convertit : $1\ \text{m}^2 = 10^4\ \text{cm}^2$, donc

$120\,000\ \text{cm}^2 = 12\ \text{m}^2$

3. Les volumes sont multipliés par $k^3 = 50^3 = 125\,000$ :

$320 \times 125\,000 = 40\,000\,000\ \text{cm}^3$

On convertit : $1\ \text{m}^3 = 10^6\ \text{cm}^3$, donc

$40\,000\,000\ \text{cm}^3 = 40\ \text{m}^3$

Astuce de vérification : les trois exposants se suivent — longueurs × $50$, aires × $50^2$, volumes × $50^3$. Si tu avais multiplié le volume par 50 seulement, tu aurais trouvé un monument de… 16 litres ! Un ordre de grandeur absurde doit toujours te mettre la puce à l’oreille.