Résumé de cours

Le théorème de Thalès Mathématiques · 3e · Les Génies des Sciences · geniesdessciences.com

Ce résumé condense l’exigible du chapitre. Un théorème, deux usages : calculer des longueurs quand des droites sont parallèles (théorème direct), démontrer que des droites sont parallèles (réciproque).

Le théorème et ses deux configurations

Dans le triangle $ABC$ , si $M$ est sur $(AB)$ , $N$ est sur $(AC)$ et si les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, alors les longueurs des triangles $AMN$ et $ABC$ sont proportionnelles.

L’égalité de Thalès

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$

Chaque quotient part du point commun A. Deux configurations : triangles emboîtés (M et N sur les segments, vue en 4e) et papillon (M et N de l’autre côté de A, vue en 3e).

Pour calculer une longueur : on cite le théorème, on vérifie les hypothèses (points alignés, droites parallèles), on écrit l’égalité, puis on isole l’inconnue par produit en croix.

La rédaction attendue au brevet

1. « Dans les triangles AMN et ABC : M appartient à (AB), N appartient à (AC), et les droites (MN) et (BC) sont parallèles. » 2. « D’après le théorème de Thalès : … » 3. Produit en croix et calcul. Citer le théorème et ses hypothèses rapporte des points, même si le calcul échoue ensuite.

La réciproque : prouver des parallèles

Si les points $A$ , $M$ , $B$ et $A$ , $N$ , $C$ sont alignés dans le même ordre et si $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ , alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

On calcule les deux quotients séparément, puis on compare.
Quotients égaux + alignement dans le même ordre → droites parallèles (réciproque).
Quotients différents → droites non parallèles (car le théorème direct imposerait l’égalité).

Agrandissement et réduction

L’effet du rapport k

$\text{longueurs} \times k \qquad \text{aires} \times k^2 \qquad \text{volumes} \times k^3$

k supérieur à 1 : agrandissement ; k entre 0 et 1 : réduction. Les angles et la forme de la figure ne changent pas. Exemple : un rapport 3 multiplie les aires par 9.

Dans les problèmes du brevet, Thalès s’associe souvent au théorème de Pythagore (rappel de 4e) : Pythagore calcule un côté d’un triangle rectangle, Thalès exploite ensuite les parallèles de la figure.

Les pièges classiques

Les erreurs qui coûtent des points

Écrire AM/MB au lieu de AM/AB : le théorème utilise les longueurs entières, pas les morceaux. Oublier la phrase « les points sont alignés dans le même ordre » dans la réciproque. Mélanger les sommets dans la configuration papillon : associe toujours les points qui se correspondent de part et d’autre de l’intersection. Et pour les aires, multiplier par k au lieu de k².

Exercices corrigés

Exercices — Le théorème de Thalès

4 exercices progressifs avec corrigés détaillés : triangles emboîtés, configuration papillon, réciproque et problème type brevet avec Pythagore.

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Quiz — Le théorème de Thalès

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