Résumé — Le théorème de Thalès
Ce résumé condense l’exigible du chapitre. Un théorème, deux usages : calculer des longueurs quand des droites sont parallèles (théorème direct), démontrer que des droites sont parallèles (réciproque).
Le théorème et ses deux configurations
Dans le triangle , si est sur , est sur et si les droites et sont parallèles, alors les longueurs des triangles et sont proportionnelles.
L’égalité de Thalès
Chaque quotient part du point commun A. Deux configurations : triangles emboîtés (M et N sur les segments, vue en 4e) et papillon (M et N de l’autre côté de A, vue en 3e).
Pour calculer une longueur : on cite le théorème, on vérifie les hypothèses (points alignés, droites parallèles), on écrit l’égalité, puis on isole l’inconnue par produit en croix.
La rédaction attendue au brevet
1. « Dans les triangles AMN et ABC : M appartient à (AB), N appartient à (AC), et les droites (MN) et (BC) sont parallèles. » 2. « D’après le théorème de Thalès : … » 3. Produit en croix et calcul. Citer le théorème et ses hypothèses rapporte des points, même si le calcul échoue ensuite.
La réciproque : prouver des parallèles
Si les points , , et , , sont alignés dans le même ordre et si , alors les droites et sont parallèles.
- On calcule les deux quotients séparément, puis on compare.
- Quotients égaux + alignement dans le même ordre → droites parallèles (réciproque).
- Quotients différents → droites non parallèles (car le théorème direct imposerait l’égalité).
Agrandissement et réduction
L’effet du rapport k
k supérieur à 1 : agrandissement ; k entre 0 et 1 : réduction. Les angles et la forme de la figure ne changent pas. Exemple : un rapport 3 multiplie les aires par 9.
Dans les problèmes du brevet, Thalès s’associe souvent au théorème de Pythagore (rappel de 4e) : Pythagore calcule un côté d’un triangle rectangle, Thalès exploite ensuite les parallèles de la figure.
Les pièges classiques
Les erreurs qui coûtent des points
Écrire AM/MB au lieu de AM/AB : le théorème utilise les longueurs entières, pas les morceaux. Oublier la phrase « les points sont alignés dans le même ordre » dans la réciproque. Mélanger les sommets dans la configuration papillon : associe toujours les points qui se correspondent de part et d’autre de l’intersection. Et pour les aires, multiplier par k au lieu de k².