Exercices — Le théorème de Thalès

Rédaction modèle — à connaître par cœur. Dans les triangles $AMN$ et $ABC$ :

• $M$ appartient à $[AB]$ et $N$ appartient à $[AC]$ ;
• les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

D’après le théorème de Thalès :

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$

1. On remplace par les valeurs connues dans l’égalité utile :

$\dfrac{3}{5} = \dfrac{2{,}4}{AC}$

Par produit en croix :

$AC = \dfrac{2{,}4 \times 5}{3} = \dfrac{12}{5} = 4\ \text{cm}$

2. On utilise cette fois le troisième quotient :

$\dfrac{3}{5} = \dfrac{MN}{6}$

$MN = \dfrac{3 \times 6}{5} = \dfrac{18}{5} = 3{,}6\ \text{cm}$

Réflexe à retenir : au brevet, la rédaction compte autant que le calcul. Il faut citer le théorème et vérifier ses hypothèses (points sur les segments, droites parallèles) avant d’écrire l’égalité des quotients.

Dans les triangles $OAB$ et $ODC$ :

• les points $A$, $O$, $D$ sont alignés et les points $B$, $O$, $C$ sont alignés ;
• les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

D’après le théorème de Thalès :

$\dfrac{OA}{OD} = \dfrac{OB}{OC} = \dfrac{AB}{CD}$

On calcule d’abord le quotient connu :

$\dfrac{OA}{OD} = \dfrac{5}{7{,}5} = \dfrac{2}{3}$

Calcul de $OC$ :

$\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{OC} \quad \text{donc} \quad OC = \dfrac{4 \times 3}{2} = 6\ \text{cm}$

Calcul de $CD$ :

$\dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{CD} \quad \text{donc} \quad CD = \dfrac{3 \times 3}{2} = 4{,}5\ \text{cm}$

Réflexe à retenir : dans la configuration papillon, chaque quotient part du point d’intersection $O$ et associe les sommets qui se correspondent : $A$ avec $D$, $B$ avec $C$. Fais un schéma et colorie les deux triangles pour ne pas te tromper de sommet.

1. On calcule séparément les deux quotients :

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{2{,}4}{4} = 0{,}6 \qquad \text{et} \qquad \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$

On constate que $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$. De plus, les points $A$, $M$, $B$ d’une part et $A$, $N$, $C$ d’autre part sont alignés dans le même ordre.

D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

2. On calcule les deux quotients :

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4 \qquad \text{et} \qquad \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{1{,}5}{4} = 0{,}375$

Les quotients sont différents : $0{,}4 \neq 0{,}375$. Or, si les droites étaient parallèles, le théorème de Thalès imposerait l’égalité de ces quotients.

Les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont donc pas parallèles.

Réflexe à retenir : pour conclure que les droites SONT parallèles, il faut la réciproque et la phrase « les points sont alignés dans le même ordre ». Pour conclure qu’elles ne le sont PAS, il suffit de montrer que les quotients sont différents.

1. Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. D’après le théorème de Pythagore (rappel de 4e) :

$BC^2 = AB^2 + AC^2$

$BC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$

$BC = \sqrt{25} = 5\ \text{m}$

2. Dans les triangles $CAB$ et $CED$ :

• les points $A$, $C$, $E$ sont alignés et les points $B$, $C$, $D$ sont alignés ;
• les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont parallèles.

D’après le théorème de Thalès (configuration papillon) :

$\dfrac{CA}{CE} = \dfrac{CB}{CD} = \dfrac{AB}{ED}$

On utilise l’égalité qui relie les longueurs connues à celle cherchée :

$\dfrac{CB}{CD} = \dfrac{AB}{ED} \quad \text{donne} \quad \dfrac{5}{7{,}5} = \dfrac{4}{ED}$

Par produit en croix :

$ED = \dfrac{4 \times 7{,}5}{5} = \dfrac{30}{5} = 6\ \text{m}$

3. Le rapport d’agrandissement est le quotient d’une longueur du grand triangle par la longueur correspondante du petit :

$k = \dfrac{CD}{CB} = \dfrac{7{,}5}{5} = 1{,}5$

Vérification avec un autre couple de côtés : $\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{6}{4} = 1{,}5$ ✓.

Les longueurs sont multipliées par $k = 1{,}5$ et l’aire est multipliée par :

$k^2 = 1{,}5^2 = 2{,}25$

Réflexe à retenir : longueurs $\times\ k$, aires $\times\ k^2$ (et volumes $\times\ k^3$). Si $k > 1$, c’est un agrandissement ; si $k < 1$, une réduction.