Nombres complexes : forme trigonométrique et géométrie

Au début du XIXᵉ siècle, Gauss et Argand ont une idée lumineuse : représenter chaque nombre complexe par un point du plan. D’un coup, les complexes cessent d’être des curiosités algébriques : additionner devient translater, multiplier devient tourner et agrandir. Résultat : des problèmes de géométrie entiers — distances, angles, alignements, polygones réguliers — se résolvent en calculant. C’est tout l’enjeu de ce chapitre.

Le plan complexe : points et affixes

On munit le plan d’un repère orthonormé direct $(O\,;\,\vec{u},\vec{v})$. Au point $M(a\,;\,b)$ on associe le nombre $z = a + ib$ : c’est l’affixe de $M$, et $M$ est l’image de $z$.

• L’axe des abscisses porte les réels, l’axe des ordonnées les imaginaires purs.
• Un vecteur $\vec{w}$ de coordonnées $(a\,;\,b)$ a aussi une affixe : $z_{\vec{w}} = a + ib$. En particulier, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_B - z_A$.
• L’image du conjugué $\bar{z}$ est le symétrique de $M$ par rapport à l’axe des abscisses.

Le module : la distance faite nombre

Le module de $z = a + ib$ est $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ : c’est la distance $OM$. Plus généralement, $AB = |z_B - z_A|$ — toute distance du plan devient un calcul de module.

• $|z|^2 = z\bar{z}$ : pour calculer un module, pense « le nombre fois son conjugué ».
• Le module est multiplicatif : $|zz'| = |z|\,|z'|$, $\left|\dfrac{1}{z}\right| = \dfrac{1}{|z|}$, $\left|\dfrac{z}{z'}\right| = \dfrac{|z|}{|z'|}$, $|z^n| = |z|^n$. (Il ne l’est pas pour la somme !)
• L’ensemble $\mathbb{U}$ des complexes de module $1$ est le cercle unité ; il est stable par produit et par passage à l’inverse.

Arguments et forme trigonométrique

Pour $z \neq 0$, un argument de $z$ est une mesure $\theta$ de l’angle $\left(\vec{u}\,;\,\overrightarrow{OM}\right)$, définie modulo $2\pi$. En posant $r = |z|$, on obtient la forme trigonométrique :

$z = r(\cos\theta + i\sin\theta), \qquad r > 0$

Passage d’une forme à l’autre : $r = \sqrt{a^2 + b^2}$, puis $\cos\theta = \dfrac{a}{r}$ et $\sin\theta = \dfrac{b}{r}$ — les deux, sinon on confond $\theta$ et $-\theta$. Les arguments transforment les produits en sommes :

$\arg(zz') = \arg z + \arg z' \quad ; \quad \arg\left(\frac{z}{z'}\right) = \arg z - \arg z' \quad ; \quad \arg(z^n) = n\arg z \quad ; \quad \arg(\bar{z}) = -\arg z \quad [2\pi]$

La notation exponentielle

On note $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$. Cette notation mérite son nom car elle vérifie la relation fonctionnelle de l’exponentielle : $e^{i\theta}e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')}$. Tout complexe non nul s’écrit alors $z = re^{i\theta}$ avec $r = |z|$ et $\theta = \arg z$. Repères à connaître : $e^{i0} = 1$, $e^{i\pi/2} = i$, $e^{i\pi} = -1$.

Des complexes à la trigonométrie

Les formules de trigonométrie ne sont plus à apprendre par cœur : elles se retrouvent en une ligne. En développant $e^{i(a+b)} = e^{ia}e^{ib} = (\cos a + i\sin a)(\cos b + i\sin b)$ puis en identifiant parties réelle et imaginaire :

$\cos(a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b \qquad \sin(a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$

Avec $b = a$, on obtient les formules de duplication : $\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a$ et $\sin 2a = 2\sin a\cos a$. Et dans l’autre sens, Euler permet de linéariser : $\cos^2\theta = \dfrac{1 + \cos 2\theta}{2}$.

Les racines n-ièmes de l’unité

Les solutions de $z^n = 1$ forment l’ensemble $\mathbb{U}_n$ des racines $n$-ièmes de l’unité :

$\mathbb{U}_n = \left\{ e^{\frac{2ik\pi}{n}},\ k = 0, 1, \ldots, n - 1 \right\} \qquad (n \text{ éléments exactement})$

Géométriquement, ce sont les sommets d’un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité, dont un sommet est $1$. Cas à connaître :

• $n = 2$ : $\mathbb{U}_2 = \{1\,;\,-1\}$ ;
• $n = 3$ : $\mathbb{U}_3 = \{1\,;\,j\,;\,j^2\}$ avec $j = e^{2i\pi/3} = -\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (triangle équilatéral) ;
• $n = 4$ : $\mathbb{U}_4 = \{1\,;\,i\,;\,-1\,;\,-i\}$ (carré).

Pour $n \geq 2$, la somme des racines $n$-ièmes de l’unité vaut $0$ — par exemple $1 + j + j^2 = 0$.

La géométrie avec les complexes

D’où les traductions à connaître par cœur :

• $A$, $B$, $C$ alignés $\iff \dfrac{c - a}{b - a}$ est réel ;
• $(AB) \perp (AC) \iff \dfrac{c - a}{b - a}$ est imaginaire pur ;
• $\dfrac{c - a}{b - a} = i$ (ou $-i$) : triangle rectangle isocèle en $A$.

Et pour les ensembles de points : $|z - a| = r$ est le cercle de centre $A$ et de rayon $r$ ; $|z - a| = |z - b|$ est la médiatrice de $[AB]$ (les points à égale distance de $A$ et de $B$).

Les pièges classiques