Exercices — Nombres complexes : forme trigonométrique et géométrie

1. Module : $|z_1| = \sqrt{1^2 + \left(\sqrt{3}\right)^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$. On factorise par le module pour lire l’argument :

$z_1 = 2\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right), \qquad \cos\theta = \frac{1}{2} \ \text{ et } \ \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{3}\ [2\pi]$

Donc $z_1 = 2e^{i\pi/3}$.

2. Module : $|z_2| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Puis $\cos\theta = \dfrac{-2}{2\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\theta = \dfrac{2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ : l’angle est dans le deuxième quadrant, $\theta = \dfrac{3\pi}{4}\ [2\pi]$. Donc $z_2 = 2\sqrt{2}\,e^{3i\pi/4}$.

3. On développe avec $\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2}$ :

$z_3 = 4\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i\right) = 2\sqrt{3} - 2i$

Réflexe à retenir : pour trouver un argument, calcule d’abord le module, factorise, puis identifie le cosinus et le sinus ensemble — l’un des deux seul ne suffit pas à placer l’angle dans le bon quadrant.

1. D’après l’exercice 1, $z_1 = 2e^{i\pi/3}$. Pour $z_2$ : $|z_2| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ et $\cos\theta = \sin\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$, donc $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ : $z_2 = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$.

2. Dans un quotient, les modules se divisent et les arguments se soustraient :

$Z = \frac{2}{\sqrt{2}}\,e^{i\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right)} = \sqrt{2}\,e^{i\pi/12} \qquad \left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - 3\pi}{12} = \frac{\pi}{12}\right)$

3. On multiplie par le conjugué du dénominateur :

$Z = \frac{1 + i\sqrt{3}}{1 + i} = \frac{(1 + i\sqrt{3})(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{1 - i + i\sqrt{3} - i^2\sqrt{3}}{2} = \frac{(1 + \sqrt{3}) + i(\sqrt{3} - 1)}{2}$

4. Les deux écritures désignent le même nombre. Or $Z = \sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{12} + i\sin\dfrac{\pi}{12}\right)$ : en identifiant parties réelle et imaginaire puis en divisant par $\sqrt{2}$ :

$\cos\frac{\pi}{12} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \qquad \sin\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(Contrôle de cohérence : $\dfrac{\pi}{12}$ est un petit angle du premier quadrant, et on trouve bien un cosinus proche de $1$ et un sinus petit et positif.)

Réflexe à retenir : produits et quotients adorent la forme exponentielle, sommes et identifications la forme algébrique. Calculer un même nombre des deux façons, c’est la machine à fabriquer des valeurs exactes de cos et sin.

1. Euler donne $\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$, donc :

$\cos^2\theta = \frac{\left(e^{i\theta} + e^{-i\theta}\right)^2}{4} = \frac{e^{2i\theta} + 2 + e^{-2i\theta}}{4} = \frac{2\cos 2\theta + 2}{4} = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$

(On a regroupé $e^{2i\theta} + e^{-2i\theta} = 2\cos 2\theta$, encore Euler.)

2. Moivre : $\cos 3\theta + i\sin 3\theta = (\cos\theta + i\sin\theta)^3$. On développe avec le binôme :

$(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos^3\theta + 3i\cos^2\theta\sin\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta - i\sin^3\theta$

La partie réelle donne $\cos 3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta$. On remplace $\sin^2\theta$ par $1 - \cos^2\theta$ :

$\cos 3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta(1 - \cos^2\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$

3. D’une part $e^{i(a+b)} = \cos(a + b) + i\sin(a + b)$. D’autre part :

$e^{ia}e^{ib} = (\cos a + i\sin a)(\cos b + i\sin b) = (\cos a\cos b - \sin a\sin b) + i(\sin a\cos b + \cos a\sin b)$

En identifiant parties réelle et imaginaire :

$\cos(a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b \qquad \sin(a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$

Réflexe à retenir : Euler linéarise (les puissances de cos et sin disparaissent), Moivre développe (cos $n\theta$ s’exprime en puissances de $\cos\theta$) — et les formules d’addition se retrouvent en une ligne, plus besoin de les apprendre par cœur.

1. Les solutions de $z^n = 1$ sont les $n$ racines $n$-ièmes de l’unité $e^{2ik\pi/n}$, $k = 0, \ldots, n - 1$. Ici $n = 3$ :

$\mathbb{U}_3 = \left\{1\,;\ e^{2i\pi/3}\,;\ e^{4i\pi/3}\right\}$

2. Avec $\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$ et $\sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ :

$j = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \qquad j^2 = e^{4i\pi/3} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} = \bar{j}$

3. On additionne les formes algébriques :

$1 + j + j^2 = 1 + \left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = (1 - 1) + 0i = 0 \ ✓$

(Autre preuve, sans coordonnées : $1 + j + j^2 = \dfrac{j^3 - 1}{j - 1} = 0$ car $j^3 = 1$ et $j \neq 1$ — c’est une somme géométrique.)

4. Les images de $1$, $j$ et $j^2$ sont trois points du cercle unité d’arguments $0$, $\dfrac{2\pi}{3}$ et $\dfrac{4\pi}{3}$ : elles forment un triangle équilatéral inscrit dans le cercle unité. De même $\mathbb{U}_2 = \{1\,;\,-1\}$ (les deux extrémités d’un diamètre) et $\mathbb{U}_4 = \{1\,;\,i\,;\,-1\,;\,-i\}$ (un carré).

Réflexe à retenir : les racines $n$-ièmes de l’unité sont les $e^{2ik\pi/n}$ : $n$ points régulièrement répartis sur le cercle unité, sommets d’un polygone régulier, et leur somme est nulle dès que $n \geq 2$.

1. $c - a = 4i - 1 - i = -1 + 3i$ et $b - a = 3 + i$. On multiplie par le conjugué du dénominateur :

$\frac{c - a}{b - a} = \frac{-1 + 3i}{3 + i} = \frac{(-1 + 3i)(3 - i)}{(3 + i)(3 - i)} = \frac{-3 + i + 9i - 3i^2}{9 + 1} = \frac{10i}{10} = i$

2. Le quotient vaut $i$ : son module est $1$ et son argument est $\dfrac{\pi}{2}$. Donc $\dfrac{AC}{AB} = 1$ (le triangle est isocèle en $A$) et $\left(\overrightarrow{AB}\,;\,\overrightarrow{AC}\right) = \dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$ (il est rectangle en $A$). Le triangle $ABC$ est rectangle isocèle en $A$.

3. $d - a = 6 + 2i = 2(3 + i)$, donc :

$\frac{d - a}{b - a} = \frac{2(3 + i)}{3 + i} = 2$

Le quotient est un réel (non nul) : les vecteurs $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires ($\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AB}$), donc $A$, $B$ et $D$ sont alignés.

4. $|z - 1 - i| = |z - a| = AM$ : la condition s’écrit $AM = \sqrt{10}$. L’ensemble $E$ est donc le cercle de centre $A$ et de rayon $\sqrt{10}$. Pour $B$ :

$|b - a| = |3 + i| = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$

Donc $B$ appartient bien à $E$.

Réflexe à retenir : le quotient $\dfrac{c - a}{b - a}$ radiographie le triangle — module = rapport de longueurs $\dfrac{AC}{AB}$, argument = angle en $A$ ; réel $\Rightarrow$ alignés, imaginaire pur $\Rightarrow$ angle droit. Et $|z - a| = r$ se lit toujours « $AM = r$ » : un cercle.