Nombres complexes : forme algébrique et équations

À la Renaissance, Tartaglia, Cardan et Bombelli cherchent des formules pour résoudre les équations de degré 3 — et tombent sur des quantités « impossibles » dont le carré est négatif. Ces intrus calculatoires se révèlent si efficaces que les mathématiciens finissent par les adopter : ce sont les nombres complexes. Tout part d’un nombre nouveau, noté $i$, dont la seule règle du jeu est $i^2 = -1$. Avec lui, toutes les équations du second degré ont des solutions — et un monde s’ouvre.

La forme algébrique

Tout nombre complexe s’écrit de façon unique sous la forme $z = a + ib$, avec $a$ et $b$ réels : c’est la forme algébrique. On note $a = \operatorname{Re}(z)$ la partie réelle et $b = \operatorname{Im}(z)$ la partie imaginaire — attention, $\operatorname{Im}(z)$ est le réel $b$, sans le $i$.

• Si $b = 0$, $z$ est un réel : $\mathbb{R}$ est contenu dans $\mathbb{C}$. Si $a = 0$, $z = ib$ est un imaginaire pur.
• Unicité : $a + ib = a' + ib'$ (avec $a$, $b$, $a'$, $b'$ réels) si, et seulement si, $a = a'$ et $b = b'$. C’est la méthode d’identification, l’arme n°1 pour résoudre les équations faisant intervenir $z$ et $\bar{z}$.

Calculer dans ℂ

On calcule dans $\mathbb{C}$ comme dans $\mathbb{R}$, en remplaçant $i^2$ par $-1$ dès qu’il apparaît. Par exemple $(2 + i)(3 - 2i) = 6 - 4i + 3i - 2i^2 = 6 - i + 2 = 8 - i$. Tout complexe non nul admet un inverse (voir le conjugué ci-dessous), et l’équation linéaire $az = b$ (avec $a \neq 0$) a pour unique solution $z = \dfrac{b}{a}$.

Le conjugué

Le conjugué de $z = a + ib$ est $\bar{z} = a - ib$ : seul le signe de la partie imaginaire change. Il traverse toutes les opérations : $\overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z'}$, $\overline{z z'} = \bar{z} \, \bar{z'}$, $\overline{\left(\dfrac{1}{z}\right)} = \dfrac{1}{\bar{z}}$, $\overline{z^n} = \bar{z}^n$.

• $z + \bar{z} = 2\operatorname{Re}(z)$ et $z - \bar{z} = 2i\operatorname{Im}(z)$ ;
• $z$ est réel $\iff z = \bar{z}$ ; $z$ est imaginaire pur $\iff \bar{z} = -z$ ;
• surtout : $z\bar{z} = a^2 + b^2$ est un réel positif — c’est le carré du module, $z\bar{z} = |z|^2$.

Cette dernière relation est la clé des quotients : pour rendre un dénominateur réel, on le multiplie par son conjugué. Exemple : $\dfrac{1}{3 - i} = \dfrac{3 + i}{(3 - i)(3 + i)} = \dfrac{3 + i}{10}$.

Le second degré à coefficients réels

Exemple : $z^2 - 2z + 5 = 0$ donne $\Delta = 4 - 20 = -16$, d’où $z = \dfrac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i$. Vérification éclair avec la somme et le produit, qui se lisent sur les coefficients : $z_1 + z_2 = 2 = -\dfrac{b}{a}$ ✓ et $z_1 z_2 = 1 + 4 = 5 = \dfrac{c}{a}$ ✓.

Équations polynomiales : factoriser pour résoudre

Trois résultats structurent tout le chapitre :

• Factorisation de $z^n - a^n$ : $z^n - a^n = (z - a)(z^{n-1} + az^{n-2} + \cdots + a^{n-1})$. Cas utile : $z^3 - a^3 = (z - a)(z^2 + az + a^2)$.
• Factorisation par une racine : si $P(a) = 0$, alors $P(z) = (z - a)\,Q(z)$ avec $Q$ polynôme de degré $\deg P - 1$.
• Conséquence majeure : un polynôme de degré $n$ admet au plus $n$ racines. Si tu en as trouvé $n$, tu les as toutes.

Les pièges classiques