Exercices — Nombres complexes : forme algébrique et équations

1. On regroupe parties réelles et parties imaginaires : $(5 - 2i) + (-3 + 7i) = (5 - 3) + (-2 + 7)i = 2 + 5i$.

2. On développe normalement, puis on remplace $i^2$ par $-1$ :

$(4 + i)(2 - 3i) = 8 - 12i + 2i - 3i^2 = 8 - 10i + 3 = 11 - 10i$

3. Les puissances de $i$ tournent en boucle de $4$ en $4$ car $i^4 = 1$. Or $2026 = 4 \times 506 + 2$, donc :

$i^{2026} = \left(i^4\right)^{506} \times i^2 = 1 \times (-1) = -1$

4. Formule du binôme avec $n = 3$ (coefficients $1$, $3$, $3$, $1$) :

$(1 + i)^3 = 1 + 3i + 3i^2 + i^3 = 1 + 3i - 3 - i = -2 + 2i$

Vérification par un autre chemin : $(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i$, donc $(1 + i)^3 = 2i(1 + i) = 2i + 2i^2 = -2 + 2i$ ✓.

Réflexe à retenir : dans $\mathbb{C}$, on calcule comme dans $\mathbb{R}$ en remplaçant $i^2$ par $-1$ dès qu’il apparaît — et pour $i^n$, on réduit l’exposant modulo 4.

1. On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué $3 + i$ :

$\frac{1}{3 - i} = \frac{3 + i}{(3 - i)(3 + i)} = \frac{3 + i}{9 + 1} = \frac{3}{10} + \frac{1}{10}i$

2. Même méthode avec le conjugué $1 + i$ :

$\frac{2 + 3i}{1 - i} = \frac{(2 + 3i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{2 + 2i + 3i + 3i^2}{1 + 1} = \frac{-1 + 5i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{5}{2}i$

3. C’est une équation linéaire $az = b$ : on isole $z$ puis on rend le dénominateur réel.

$z = \frac{4 - 2i}{1 + i} = \frac{(4 - 2i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{4 - 4i - 2i + 2i^2}{2} = \frac{2 - 6i}{2} = 1 - 3i$

Vérification : $(1 + i)(1 - 3i) = 1 - 3i + i - 3i^2 = 1 - 2i + 3 = 4 - 2i$ ✓.

4. L’équation fait intervenir $z$ et $\bar{z}$ : on pose $z = x + iy$ ($x$, $y$ réels). Alors :

$2z + \bar{z} = 2(x + iy) + (x - iy) = 3x + iy$

L’équation devient $3x + iy = 6 + 2i$. Par unicité de la forme algébrique, on identifie : $3x = 6$ et $y = 2$, donc $x = 2$ et $y = 2$. Unique solution : $z = 2 + 2i$.

Réflexe à retenir : un quotient se traite en multipliant par le conjugué du dénominateur ; une équation mêlant $z$ et $\bar{z}$ se traite en posant $z = x + iy$ puis en identifiant parties réelle et imaginaire.

1. $z^2 + 4 = 0 \iff z^2 = -4 = (2i)^2 \iff z = 2i$ ou $z = -2i$. (Interdit d’écrire $\sqrt{-4}$ : on fait apparaître un carré, $-4 = (2i)^2$.)

2. $a = 1$, $b = -4$, $c = 13$ : $\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 13 = 16 - 52 = -36 < 0$. Deux racines complexes conjuguées :

$z = \frac{4 \pm i\sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6i}{2} = 2 \pm 3i$

3. $\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = -3 < 0$, donc :

$z = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

(Ces deux nombres reviendront au chapitre suivant : ce sont les racines cubiques de l’unité autres que $1$.)

4. Somme : $(2 + 3i) + (2 - 3i) = 4 = -\dfrac{b}{a}$ ✓. Produit : $(2 + 3i)(2 - 3i) = 4 + 9 = 13 = \dfrac{c}{a}$ ✓. Les deux vérifications concordent — les racines sont les bonnes.

Réflexe à retenir : quand $\Delta < 0$, écris $\Delta = \left(i\sqrt{-\Delta}\right)^2$ et applique les formules habituelles — les deux racines obtenues sont conjuguées, et somme–produit ($-b/a$ et $c/a$) fournit une vérification en dix secondes.

1. $P(1) = 1 - 3 + 7 - 5 = 0$ : le nombre $1$ est bien racine de $P$. D’après le cours, $P(z)$ se factorise donc par $(z - 1)$.

2. On développe la forme proposée :

$(z - 1)(z^2 + pz + q) = z^3 + pz^2 + qz - z^2 - pz - q = z^3 + (p - 1)z^2 + (q - p)z - q$

Par identification avec $P(z) = z^3 - 3z^2 + 7z - 5$ :

• coefficient de $z^2$ : $p - 1 = -3$, donc $p = -2$ ;
• terme constant : $-q = -5$, donc $q = 5$ ;
• contrôle sur le coefficient de $z$ : $q - p = 5 - (-2) = 7$ ✓.

Donc $P(z) = (z - 1)(z^2 - 2z + 5)$.

3. Un produit est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs est nul. Soit $z = 1$, soit $z^2 - 2z + 5 = 0$ : $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$, d’où $z = \dfrac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i$.

$S = \{1\,;\ 1 + 2i\,;\ 1 - 2i\}$

Le polynôme est de degré $3$ : il admet au plus $3$ racines, on les a donc toutes.

Réflexe à retenir : racine évidente → factorisation par $(z - \text{racine})$ → identification des coefficients (avec un contrôle sur le coefficient restant) → second degré. C’est LE scénario type du bac en maths expertes.

1. On développe le membre de droite :

$(z - 2)(z^2 + 2z + 4) = z^3 + 2z^2 + 4z - 2z^2 - 4z - 8 = z^3 - 8 \ ✓$

(C’est la factorisation générale $z^3 - a^3 = (z - a)(z^2 + az + a^2)$ avec $a = 2$.)

2. $z^3 = 8 \iff z^3 - 8 = 0 \iff (z - 2)(z^2 + 2z + 4) = 0$. Un produit est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs est nul.

• $z - 2 = 0$ donne $z = 2$ ;
• $z^2 + 2z + 4 = 0$ : $\Delta = 4 - 16 = -12 < 0$, d’où $z = \dfrac{-2 \pm i\sqrt{12}}{2} = \dfrac{-2 \pm 2i\sqrt{3}}{2} = -1 \pm i\sqrt{3}$.

$S = \{2\,;\ -1 + i\sqrt{3}\,;\ -1 - i\sqrt{3}\}$

3. L’équation $z^3 - 8 = 0$ est polynomiale de degré $3$ : elle admet au plus trois solutions. On en a exhibé trois distinctes : ce sont donc exactement toutes les solutions.

4. Pour $z = 2$ : $z\bar{z} = 2 \times 2 = 4$. Pour $z = -1 + i\sqrt{3}$ : $z\bar{z} = (-1)^2 + \left(\sqrt{3}\right)^2 = 1 + 3 = 4$, et de même pour $-1 - i\sqrt{3}$. Les trois solutions vérifient toutes $z\bar{z} = 4$, c’est-à-dire $|z|^2 = 4$ : elles sont toutes « à distance $2$ de l’origine » — tu verras au chapitre suivant qu’elles forment un triangle équilatéral sur le cercle de rayon $2$.

Réflexe à retenir : la factorisation $z^n - a^n = (z - a)(z^{n-1} + az^{n-2} + \cdots + a^{n-1})$ transforme une équation de degré $n$ en produit — et le degré majore le nombre de racines : trois solutions trouvées pour un degré 3, c’est terminé.