Les suites arithmético-géométriques

Un capital qui rapporte des intérêts pendant qu’on verse la même somme chaque année, une population qui croît de 2 % par an tandis que 500 personnes la quittent, un médicament dont l’organisme élimine 30 % entre deux prises : trois histoires différentes, un seul et même modèle. Toutes se traduisent par une suite arithmético-géométrique $u_{n+1} = a\,u_n + b$. Ce chapitre te donne une méthode unique, en trois étapes, qui fournit la formule explicite et la limite — c’est l’un des grands classiques des sujets de maths complémentaires.

Reconnaître le modèle

Une suite est arithmético-géométrique lorsqu’il existe deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n+1} = a\,u_n + b$

Deux cas particuliers que tu connais déjà : si $a = 1$, la suite est arithmétique (on ajoute $b$ à chaque étape) ; si $b = 0$, elle est géométrique (on multiplie par $a$). Tout l’intérêt du chapitre, c’est le cas général, avec $a \neq 1$.

La méthode en trois étapes

C’est le cœur du chapitre — la même trame revient dans presque tous les exercices.

Étape 1 — Chercher la suite constante solution (le point fixe). Une suite constante égale à $\ell$ vérifie la récurrence si $\ell = a\ell + b$, c’est-à-dire :

$\ell = \frac{b}{1 - a} \qquad (a \neq 1)$

Étape 2 — Poser la suite auxiliaire $v_n = u_n - \ell$ et montrer qu’elle est géométrique. La démonstration tient en une ligne :

$v_{n+1} = u_{n+1} - \ell = a\,u_n + b - (a\ell + b) = a(u_n - \ell) = a\,v_n$

La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $a$, de premier terme $v_0 = u_0 - \ell$.

Étape 3 — Revenir à $(u_n)$. Comme $v_n = v_0 \times a^n$, on obtient la forme explicite :

Exemple complet : $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 3$. Point fixe : $\ell = \dfrac{3}{1 - 0{,}5} = 6$. Alors $v_0 = 2 - 6 = -4$, donc $u_n = 6 - 4 \times 0{,}5^n$, et $u_n$ se rapproche de $6$.

Les limites : tout repose sur $a^n$

Pour une suite géométrique de raison positive $q$, trois comportements seulement :

• si $0 < q < 1$ : $q^n$ tend vers $0$ (chaque multiplication rapproche de zéro) ;
• si $q = 1$ : $q^n$ vaut toujours $1$ ;
• si $q > 1$ : $q^n$ tend vers $+\infty$.

Conséquence directe pour $u_n = (u_0 - \ell)\,a^n + \ell$ : si $0 < a < 1$, alors $a^n \to 0$ et la suite converge vers $\ell$, quel que soit le premier terme. Si $a > 1$, la suite s’éloigne de $\ell$ (sauf si elle y démarre) : elle tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ selon le signe de $u_0 - \ell$.

La somme $1 + q + \dots + q^n$

Pour $q \neq 1$, la somme des puissances successives vaut :

$1 + q + q^2 + \dots + q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$

Si $0 < q < 1$, alors $q^{n+1} \to 0$ et cette somme tend vers $\dfrac{1}{1-q}$.

Lire une suite sur un graphique : l’escalier

Pour une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$, on trace la courbe de $f$ et la droite d’équation $y = x$. Puis, en partant de $u_0$ sur l’axe des abscisses :

1. on monte (ou on descend) verticalement jusqu’à la courbe : l’ordonnée atteinte est $u_1 = f(u_0)$ ;
2. on rejoint horizontalement la droite $y = x$ : cela reporte $u_1$ sur l’axe des abscisses ;
3. on recommence pour obtenir $u_2$, $u_3$, etc.

Le chemin obtenu dessine un escalier (ou une toile d’araignée quand la suite oscille). Si l’escalier se resserre vers le point d’intersection de la courbe et de la droite $y = x$, on conjecture que la suite converge vers l’abscisse de ce point — c’est exactement le point fixe $\ell$. Mais attention : une lecture graphique fournit une conjecture, pas une preuve ; la preuve, c’est la méthode en trois étapes.

Modéliser : traduire l’énoncé en récurrence

Le réflexe de traduction : « augmente de $t\ \%$ » se traduit par $\times \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)$, « diminue de $t\ \%$ » par $\times \left(1 - \dfrac{t}{100}\right)$, et « puis on ajoute $b$ » par $+\,b$. Un capital placé à 2 % avec un versement annuel de 150 donne ainsi $u_{n+1} = 1{,}02\,u_n + 150$ ; un médicament éliminé à 30 % avec une prise quotidienne de 2 mg donne $u_{n+1} = 0{,}7\,u_n + 2$. Dans les deux cas, la limite (ou l’absence de limite) répond à la question concrète : vers quoi le phénomène se stabilise-t-il ?

Les pièges classiques