Lois discrètes : uniforme, Bernoulli et loi géométrique

Lancer un dé, tenter un panier, appeler des clients jusqu’au premier « oui » : trois expériences aléatoires, trois lois discrètes différentes. En maths complémentaires, tu dois savoir calculer avec chacune — mais surtout reconnaître laquelle se cache dans un énoncé. La nouveauté du chapitre, c’est la loi géométrique, celle du temps d’attente du premier succès, avec sa propriété la plus célèbre : elle n’a pas de mémoire.

La loi uniforme sur $\{1, 2, \dots, n\}$

C’est la loi du hasard « équitable » : $X$ prend chacune des valeurs $1, 2, \dots, n$ avec la même probabilité.

$P(X = k) = \frac{1}{n} \quad \text{pour tout } k \in \{1, \dots, n\} \qquad \text{et} \qquad E(X) = \frac{n+1}{2}$

L’espérance se retrouve avec la somme $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ : chaque valeur pèse $\dfrac{1}{n}$, donc $E(X) = \dfrac{1}{n} \times \dfrac{n(n+1)}{2} = \dfrac{n+1}{2}$. Exemple : pour un dé équilibré, $E(X) = \dfrac{7}{2} = 3{,}5$ — la moyenne des résultats sur un très grand nombre de lancers.

Rappels : Bernoulli et binomiale

Une épreuve de Bernoulli n’a que deux issues : succès (probabilité $p$) ou échec (probabilité $1-p$). La variable $X$ qui vaut $1$ en cas de succès et $0$ sinon suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ :

$E(X) = p \qquad \text{et} \qquad \sigma(X) = \sqrt{p(1-p)}$

Quand on répète $n$ fois cette épreuve de façon indépendante (un schéma de Bernoulli, représentable par un arbre), le nombre de succès suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ — coefficients binomiaux, triangle de Pascal et calculs à la calculatrice sont détaillés dans le chapitre consacré à la loi binomiale.

La loi géométrique : attendre le premier succès

On répète maintenant l’épreuve de Bernoulli sans limite de nombre, de façon indépendante, et on note $X$ le rang du premier succès. La variable $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p$ : pour obtenir le premier succès exactement au rang $k$, il faut $k-1$ échecs puis un succès.

Deux compléments très utiles en exercice :

• $P(X > k) = (1-p)^k$ : « le premier succès arrive après le rang $k$ » signifie « les $k$ premiers essais sont tous des échecs » ;
• $P(X \leq k) = 1 - (1-p)^k$ : la probabilité d’avoir réussi au moins une fois en $k$ essais.

Sur un diagramme en bâtons, la loi géométrique se reconnaît au premier coup d’œil : le bâton le plus haut est en $k = 1$ (hauteur $p$), puis les hauteurs décroissent en étant multipliées par $1-p$ à chaque rang — une décroissance géométrique, d’où le nom.

L’absence de mémoire

C’est la propriété caractéristique de la loi géométrique — elle est la seule loi discrète à la vérifier :

$P(X > n + k \mid X > n) = P(X > k)$

Traduction : savoir qu’on a déjà subi $n$ échecs ne change rien à la probabilité de devoir attendre encore plus de $k$ essais. Le dé n’a pas de mémoire : après dix lancers sans aucun 6, la probabilité d’attendre encore plus de cinq lancers est exactement la même qu’au premier jet. En situation de temps d’attente, cette propriété permet de « remettre le compteur à zéro » à chaque instant.

Quelle loi pour quelle situation ?

Les pièges classiques