Les lois à densité

Le temps d’attente d’un bus, la durée de vie d’une ampoule, la taille d’une personne prise au hasard : ces quantités ne prennent pas quelques valeurs isolées, mais toutes les valeurs d’un intervalle. Impossible de dresser un tableau de loi comme pour un dé — il faut changer d’outil. L’idée du chapitre : remplacer les bâtons par une courbe, et lire les probabilités comme des aires. C’est ici que le calcul intégral, vu dans le chapitre d’intégration, devient un outil de probabilités.

Une probabilité, c’est une aire

Une fonction de densité sur un intervalle $I$ est une fonction $f$ continue et positive sur $I$, dont l’aire totale sous la courbe vaut $1$. Une variable aléatoire $X$ suit la loi à densité $f$ lorsque, pour tous réels $a \leq b$ de $I$ :

$P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$

La probabilité se voit : c’est l’aire sous la courbe de $f$ entre $a$ et $b$. Conséquence immédiate : pour une valeur isolée, $P(X = a) = 0$ (l’aire d’un segment vertical est nulle). Du coup, inégalités strictes ou larges, c’est pareil : $P(X < a) = P(X \leq a)$.

La fonction de répartition

La fonction de répartition de $X$ est la fonction $F : x \mapsto P(X \leq x)$ — l’aire accumulée sous la densité jusqu’à $x$. Elle est croissante, varie de $0$ à $1$, et permet de tout calculer sans refaire d’intégrale :

$P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a) \qquad \text{et} \qquad P(X > a) = 1 - F(a)$

Espérance et variance : les intégrales remplacent les sommes

Pour une loi discrète, $E(X)$ est une somme de valeurs pondérées par des probabilités. Pour une loi à densité sur $[a\,;\,b]$, la somme devient une intégrale :

$E(X) = \int_a^b x\,f(x)\,\mathrm{d}x \qquad \text{et} \qquad V(X) = \int_a^b \left(x - E(X)\right)^2 f(x)\,\mathrm{d}x$

L’espérance garde son sens : c’est la valeur moyenne de $X$ sur un très grand nombre de répétitions, et l’écart type $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ mesure la dispersion autour d’elle.

La loi uniforme sur $[a\,;\,b]$

C’est la loi du « hasard sans préférence » sur un intervalle : la densité est constante. Sur $[0\,;\,1]$ — la loi que simulent les fonctions random des calculatrices et des langages de programmation — la densité vaut $1$ et $F(x) = x$. Sur $[a\,;\,b]$ en général :

En pratique, une probabilité uniforme se calcule comme un rapport de longueurs : $P(c \leq X \leq d) = \dfrac{d-c}{b-a}$ — la part de l’intervalle occupée par $[c\,;\,d]$.

La loi exponentielle

C’est la grande loi des durées de vie et des temps d’attente : durée de fonctionnement d’un composant électronique, temps entre deux clients à un guichet, durée de vie d’un atome radioactif. Pour un paramètre $\lambda > 0$, la densité est définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = \lambda\,\mathrm{e}^{-\lambda x}$.

La courbe de la densité part de $\lambda$ en $x = 0$ et décroît vers $0$ : les petites valeurs sont les plus probables. On vérifie que $f$ est bien une densité en calculant $\int_0^t \lambda\,\mathrm{e}^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x = 1 - \mathrm{e}^{-\lambda t}$ (une primitive de $\lambda\,\mathrm{e}^{-\lambda x}$ est $-\mathrm{e}^{-\lambda x}$), qui tend vers $1$ quand $t$ tend vers $+\infty$.

L’absence de mémoire, version continue

Comme la loi géométrique chez les lois discrètes, la loi exponentielle n’a pas de mémoire :

$P(X > t + s \mid X > t) = P(X > s)$

Une ampoule qui a déjà fonctionné $t$ heures a la même probabilité de durer encore $s$ heures qu’une ampoule neuve : le modèle exponentiel décrit un vieillissement « sans usure », où seule la panne accidentelle compte. C’est ce qui en fait le bon modèle pour la désintégration radioactive — et un modèle discutable pour une pièce mécanique qui s’use.

Les pièges classiques