Exercices — Lois discrètes : uniforme, Bernoulli et loi géométrique

1. Les 8 secteurs sont identiques et la roue est équilibrée : les 8 numéros sont équiprobables. $X$ suit la loi uniforme sur $\{1, \dots, 8\}$, et pour tout $k \in \{1, \dots, 8\}$ :

$P(X = k) = \frac{1}{8}$

2. L’événement $\{X \geq 6\}$ regroupe les valeurs $6$, $7$ et $8$ : $P(X \geq 6) = \dfrac{3}{8} = 0{,}375$.

3. Pour la loi uniforme sur $\{1, \dots, n\}$ : $E(X) = \dfrac{n+1}{2} = \dfrac{9}{2} = 4{,}5$. Sur un très grand nombre de lancers, la moyenne des numéros obtenus se rapproche de $4{,}5$ — qui n’est pourtant pas une valeur possible de $X$ !

Réflexe à retenir : loi uniforme = valeurs équiprobables ; chaque probabilité vaut $\dfrac{1}{n}$, et l’espérance $\dfrac{n+1}{2}$ est le centre de la liste des valeurs.

1. Un lancer n’a que deux issues (réussi ou manqué) : $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}6$. Espérance : $E(X) = p = 0{,}6$. Écart type :

$\sigma(X) = \sqrt{p(1-p)} = \sqrt{0{,}6 \times 0{,}4} = \sqrt{0{,}24} \approx 0{,}49$

2.

• a. Nombre de succès sur $20$ épreuves identiques et indépendantes : loi binomiale $\mathcal{B}(20\,;\,0{,}6)$.
• b. Rang du premier succès, sans limite d’essais : loi géométrique de paramètre $0{,}6$.
• c. Quinze numéros équiprobables : loi uniforme sur $\{1, \dots, 15\}$.
• d. Une seule épreuve à deux issues : loi de Bernoulli de paramètre $0{,}6$.

Réflexe à retenir : pour identifier la loi, pose-toi deux questions — qu’est-ce que je compte ? (un numéro, un succès/échec, un nombre de succès, un rang) et le nombre d’essais est-il fixé à l’avance ? Binomiale si oui, géométrique si on attend le premier succès.

1. On répète une épreuve de Bernoulli (toucher ou non, $p = 0{,}25$) de façon indépendante jusqu’au premier succès : $X$ suit la loi géométrique de paramètre $0{,}25$, et $P(X = 1) = 0{,}25$.

2. Deux échecs puis un succès :

$P(X = 3) = (1 - 0{,}25)^2 \times 0{,}25 = 0{,}75^2 \times 0{,}25 = 0{,}140\,625 \approx 0{,}14$

3. Soit en ajoutant $P(X = 1) + P(X = 2) = 0{,}25 + 0{,}75 \times 0{,}25 = 0{,}25 + 0{,}1875$, soit avec l’événement contraire « deux échecs » : $P(X \leq 2) = 1 - 0{,}75^2 = 1 - 0{,}5625 = 0{,}4375$. Les deux méthodes donnent bien le même résultat.

4. « Le premier succès arrive après le 4ᵉ tir » signifie « les 4 premiers tirs sont des échecs » :

$P(X > 4) = 0{,}75^4 \approx 0{,}316$

Environ une fois sur trois, l’archer manque ses quatre premiers tirs.

5. $E(X) = \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{0{,}25} = 4$ : en moyenne, il faut 4 tirs pour toucher la cible — cohérent avec une réussite sur quatre.

Réflexe à retenir : les trois formules de la géométrique — $P(X = k) = (1-p)^{k-1}p$, $P(X > k) = (1-p)^k$ et $E(X) = \dfrac{1}{p}$ — suffisent à traiter presque toutes les questions. Passe par l’événement contraire dès que tu vois « au moins un succès ».

1. $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p = \dfrac{1}{6}$, et $E(X) = \dfrac{1}{p} = 6$ : en moyenne, le premier 6 sort au sixième lancer.

2. « Le premier 6 arrive après le rang $k$ » = « $k$ échecs consécutifs » : $P(X > k) = \left(\dfrac{5}{6}\right)^k$.

3. On cherche $P(X > 15 \mid X > 10)$. Par absence de mémoire :

$P(X > 15 \mid X > 10) = P(X > 5) = \left(\frac{5}{6}\right)^5 = \frac{3125}{7776} \approx 0{,}40$

Les dix échecs déjà subis ne comptent pas : tout se passe comme si la partie commençait.

4. Il a tort : les lancers sont indépendants, donc la probabilité d’obtenir un 6 au prochain lancer reste $\dfrac{1}{6}$, dix échecs ou pas. C’est le « sophisme du joueur » — et l’absence de mémoire de la loi géométrique en est la traduction mathématique.

Réflexe à retenir : dès qu’un énoncé donne une information du type « déjà $n$ échecs », pense absence de mémoire : $P(X > n + k \mid X > n) = P(X > k)$ — on remet le compteur à zéro.

1. Chaque appel est une épreuve de Bernoulli (vente ou non, $p = 0{,}1$), les appels sont indépendants et on attend le premier succès : $X$ suit la loi géométrique de paramètre $0{,}1$.

2. Quatre échecs puis un succès :

$P(X = 5) = 0{,}9^4 \times 0{,}1 = 0{,}065\,61 \approx 0{,}066$

Pour $P(X \leq 10)$, on passe par le contraire (dix échecs consécutifs) :

$P(X \leq 10) = 1 - 0{,}9^{10} \approx 1 - 0{,}349 = 0{,}651$

3. $E(X) = \dfrac{1}{0{,}1} = 10$ : en moyenne, la première vente arrive au dixième appel.

4. On cherche $P(X > 30 \mid X > 20)$. Par absence de mémoire :

$P(X > 30 \mid X > 20) = P(X > 10) = 0{,}9^{10} \approx 0{,}349$

5. On cherche le plus petit entier $n$ tel que $P(X \leq n) \geq 0{,}95$, c’est-à-dire $1 - 0{,}9^n \geq 0{,}95$, soit $0{,}9^n \leq 0{,}05$. Avec $\ln q^n = n \ln q$ et $\ln 0{,}9 < 0$ :

$n \geq \frac{\ln 0{,}05}{\ln 0{,}9} \approx 28{,}4$

Il faut prévoir $n = 29$ appels. Contrôle : $0{,}9^{28} \approx 0{,}052 > 0{,}05$ et $0{,}9^{29} \approx 0{,}047 \leq 0{,}05$ ✓.

Réflexe à retenir : dans un problème de premier succès, tout se joue avec $(1-p)^k$ — la probabilité de $k$ échecs consécutifs. « Au moins une vente » se traite par le contraire, l’information « déjà $n$ échecs » par l’absence de mémoire, et un objectif de probabilité par un seuil avec le logarithme.