Le schéma de Bernoulli et la loi binomiale

Lancer dix fois une pièce, répondre au hasard à un QCM, tester vingt ampoules à la sortie d’une chaîne de production : à chaque fois, on répète la même expérience à deux issues et on compte les succès. Ce modèle, c’est le schéma de Bernoulli, et la loi du nombre de succès, c’est la loi binomiale — la grande vedette des probabilités de terminale. Nouveauté par rapport à la première : les coefficients binomiaux, l’outil qui compte les chemins de l’arbre sans avoir à le dessiner.

La succession d’épreuves indépendantes

Quand on enchaîne des expériences aléatoires indépendantes (le résultat de l’une n’influence pas les autres), une issue de l’expérience globale est une liste $(x_1\,;\,x_2\,;\,\ldots\,;\,x_n)$, et une seule règle gouverne tout :

• La probabilité d’une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat.
• Sur un arbre, cela revient à multiplier les probabilités rencontrées le long du chemin.

Exemple : on lance un dé équilibré puis une pièce équilibrée. $P((6\,;\,\text{pile})) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{12}$.

L’épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues : le succès, de probabilité $p$, et l’échec, de probabilité $1 - p$. La variable aléatoire $X$ qui vaut $1$ en cas de succès et $0$ sinon suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$, avec $E(X) = p$ et $V(X) = p(1 - p)$.

Le schéma de Bernoulli et les coefficients binomiaux

Un schéma de Bernoulli est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Son arbre possède $2^n$ chemins — d’où le besoin d’un outil de comptage :

le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ (lire « $k$ parmi $n$ ») est le nombre de chemins de l’arbre réalisant exactement $k$ succès parmi les $n$ épreuves.

• Valeurs immédiates : $\binom{n}{0} = 1$ (un seul chemin sans aucun succès), $\binom{n}{n} = 1$ et $\binom{n}{1} = n$.
• Symétrie : $\binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}$ — choisir les $k$ succès, c’est choisir les $n - k$ échecs.
• Relation de Pascal : $\binom{n}{k} + \binom{n}{k + 1} = \binom{n + 1}{k + 1}$.

La loi binomiale

Dans un schéma de Bernoulli à $n$ épreuves de paramètre $p$, la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$.

Les calculs pratiques

Ta calculatrice calcule directement $P(X = k)$ et $P(X \leq k)$ (menu des distributions : commandes souvent nommées binomFdp et binomFRép). Tout le reste s’y ramène :

• $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)$ : pour une variable entière, le contraire de « au moins $k$ » est « au plus $k - 1$ ».
• $P(k \leq X \leq k') = P(X \leq k') - P(X \leq k - 1)$.
• « Au moins un succès » : $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - p)^n$.

Problème de seuil : chercher le plus petit $n$ tel que $P(X \geq 1) \geq 0{,}99$ avec $p = 0{,}5$ revient à résoudre $0{,}5^n \leq 0{,}01$. Un tableau de valeurs (ou le logarithme) donne $n = 7$, car $0{,}5^7 \approx 0{,}008$ alors que $0{,}5^6 \approx 0{,}016$. Même logique pour chercher un intervalle $I$ tel que $P(X \in I)$ soit inférieure à un seuil $\alpha$ donné — ou supérieure à $1 - \alpha$.

La représentation graphique

La loi binomiale se représente par un diagramme en bâtons : au-dessus de chaque valeur $k$, un bâton de hauteur $P(X = k)$. Les bâtons les plus hauts se trouvent autour de l’espérance $np$ : le diagramme est symétrique quand $p = 0{,}5$, la « bosse » se déplace vers les petites valeurs quand $p < 0{,}5$ et vers les grandes quand $p > 0{,}5$. Un coup d’œil au graphique suffit donc pour estimer où la loi concentre ses probabilités.

Les pièges classiques