Produit scalaire et orthogonalité dans l’espace

Comment mesurer l’angle entre deux arêtes d’une pyramide ? Calculer la distance d’un point à un plan ? Un outil déjà rencontré en première fait tout : le produit scalaire, qui s’étend du plan à l’espace sans changer de règles. Avec lui débarquent le vecteur normal, les équations cartésiennes de plans et le projeté orthogonal — le trio gagnant des exercices de géométrie du bac.

Le produit scalaire, comme dans le plan

Toutes les définitions et propriétés de première restent valables : pour des vecteurs non nuls, $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u}\,,\,\vec{v})$, avec la symétrie ($\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$), la bilinéarité (on développe comme un produit ordinaire) et $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$.

En développant $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2$, on obtient la formule de polarisation : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)$.

En base orthonormée : la formule qui fait tout

Pour un angle : $\cos(\vec{u}\,,\,\vec{v}) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}$ — le produit scalaire calcule des angles et des longueurs dans l’espace, exactement comme dans le plan.

L’orthogonalité à tous les étages

• Deux vecteurs sont orthogonaux si, et seulement si, $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ (par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur).
• Deux droites sont orthogonales lorsque leurs vecteurs directeurs le sont — attention, dans l’espace, elles ne se coupent pas forcément !
• Une droite et un plan : la droite est orthogonale au plan si, et seulement si, son vecteur directeur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan. Elle est alors orthogonale à toutes les droites du plan.

Vecteur normal et équation cartésienne d’un plan

Un vecteur normal à un plan est un vecteur non nul orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan — donc à toute la direction du plan. Un point $A$ et un vecteur normal $\vec{n}$ caractérisent un unique plan : l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0$. En coordonnées, cela donne :

Deux sens de lecture : d’une équation, on extrait un vecteur normal $(a\,;\,b\,;\,c)$ ; d’un point et d’un vecteur normal, on construit l’équation — les coefficients d’abord, puis $d$ grâce au point. Et pour tester l’appartenance d’un point au plan, on remplace ses coordonnées dans l’équation : l’égalité doit être vérifiée.

Projeté orthogonal et distances

Le projeté orthogonal de $M$ sur un plan $\mathcal{P}$ est le point $H$ de $\mathcal{P}$ tel que la droite $(MH)$ soit orthogonale à $\mathcal{P}$. C’est le point de $\mathcal{P}$ le plus proche de $M$ (démonstration au programme) : la distance de $M$ au plan est donc $MH$. La méthode, avec la droite normale paramétrée :

1. Écris la représentation paramétrique de la droite passant par $M$, dirigée par un vecteur normal $\vec{n}$ du plan.
2. Injecte $x$, $y$ et $z$ dans l’équation du plan, et résous l’équation d’inconnue $t$.
3. Cette valeur de $t$ donne $H$… puis la distance $MH$.

Le projeté orthogonal sur une droite se traite avec la même logique : $H$ est le point de la droite tel que $\overrightarrow{MH} \cdot \vec{u} = 0$, où $\vec{u}$ dirige la droite — on exprime le point courant avec le paramètre $t$, et on résout.

Le plan médiateur de $[AB]$ — l’ensemble des points équidistants de $A$ et de $B$ — est le plan passant par le milieu de $[AB]$, de vecteur normal $\overrightarrow{AB}$. C’est l’exemple type de lieu géométrique à connaître, l’analogue en 3D de la médiatrice.

Les pièges classiques