Exercices — Le schéma de Bernoulli et la loi binomiale

1. Les trois expériences sont indépendantes : le résultat de l’une n’influence pas les autres. Une issue est une liste $(x_1\,;\,x_2\,;\,x_3)$ où $x_1$ est la face du dé ($6$ possibilités), $x_2$ le côté de la pièce ($2$ possibilités) et $x_3$ la couleur de la boule ($2$ possibilités : rouge, de probabilité $\dfrac{2}{5}$, ou verte, de probabilité $\dfrac{3}{5}$). L’expérience globale compte donc $6 \times 2 \times 2 = 24$ issues — représentables par un produit cartésien ou par un arbre à trois niveaux.

2. La probabilité d’une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat :

$P((6\,;\,\text{pile}\,;\,\text{rouge})) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30}$

3. « Nombre pair » regroupe $3$ faces sur $6$, donc a pour probabilité $\dfrac{1}{2}$. Par indépendance :

$P(\text{pair et face et verte}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{20}$

4. Notons $A$ = « obtenir un six » et $B$ = « la boule est rouge » : $P(A) = \dfrac{1}{6}$ et $P(B) = \dfrac{2}{5}$. Par indépendance, $P(A \cap B) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{15}$, donc :

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{5}{30} + \frac{12}{30} - \frac{2}{30} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$

Réflexe à retenir : dans une succession d’épreuves indépendantes, la probabilité d’une liste de résultats est le produit des probabilités — on multiplie le long des branches de l’arbre. Et pour un « ou », la formule $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ reste incontournable.

1. Chaque ligne commence et finit par $1$, et chaque nombre est la somme des deux situés au-dessus :

$1$ $1 \quad 1$ $1 \quad 2 \quad 1$ $1 \quad 3 \quad 3 \quad 1$ $1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1$ $1 \quad 5 \quad 10 \quad 10 \quad 5 \quad 1$ $1 \quad 6 \quad 15 \quad 20 \quad 15 \quad 6 \quad 1$

2. Ligne $4$, position $2$ (en comptant à partir de $0$) : $\dbinom{4}{2} = 6$. Ligne $6$, position $3$ : $\dbinom{6}{3} = 20$. Interprétation : dans un schéma de Bernoulli à $4$ épreuves, il existe exactement $6$ chemins réalisant $2$ succès — en notant S un succès et E un échec : SSEE, SESE, SEES, ESSE, ESES, EESS.

3. La relation de Pascal donne $\dbinom{6}{3} = \dbinom{5}{2} + \dbinom{5}{3} = 10 + 10 = 20$ ✓ — c’est exactement la règle de construction du triangle : chaque nombre est la somme des deux du dessus.

4. Par symétrie, $\dbinom{20}{18} = \dbinom{20}{2}$ : choisir les $18$ succès, c’est choisir les $2$ échecs. Et $\dbinom{20}{2} = \dfrac{20 \times 19}{2} = 190$.

Réflexe à retenir : $\dbinom{n}{k}$ compte les chemins à $k$ succès parmi $n$ épreuves — le triangle de Pascal les donne tous pour les petits $n$, et la symétrie $\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}$ ramène toujours à un petit $k$.

1. On répète $5$ fois la même épreuve de Bernoulli (succès = « lancer réussi », de probabilité $0{,}4$), les lancers étant indépendants : c’est un schéma de Bernoulli, et $X$, qui compte les succès, suit la loi binomiale $\mathcal{B}(5\,;\,0{,}4)$.

2. Avec $\dbinom{5}{2} = 10$ (triangle de Pascal) :

$P(X = 2) = \binom{5}{2} \times 0{,}4^2 \times 0{,}6^3 = 10 \times 0{,}16 \times 0{,}216 = 0{,}3456$

3. On passe par l’événement contraire « aucun lancer réussi » :

$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}6^5 = 1 - 0{,}07776 = 0{,}92224$

4. $E(X) = np = 5 \times 0{,}4 = 2$ ; $V(X) = np(1 - p) = 5 \times 0{,}4 \times 0{,}6 = 1{,}2$ ; $\sigma(X) = \sqrt{1{,}2} \approx 1{,}10$. Interprétation de l’espérance : sur un grand nombre de séries de $5$ lancers, la joueuse réussit en moyenne $2$ lancers par série.

Réflexe à retenir : pour reconnaitre une binomiale, coche trois cases — même épreuve, deux issues, indépendance — puis identifie $n$ et $p$. Et « au moins un » se traite toujours par le contraire : $P(X \geq 1) = 1 - (1 - p)^n$.

1. Répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre $0{,}2$ : $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,0{,}2)$. Par passage au contraire :

$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}8^n$

2. Pour $n = 10$ : $0{,}8^{10} \approx 0{,}1074$, donc $P(X \geq 1) \approx 0{,}8926$.

3. On résout $1 - 0{,}8^n \geq 0{,}95$, c’est-à-dire $0{,}8^n \leq 0{,}05$. La fonction $\ln$ étant strictement croissante : $n \ln(0{,}8) \leq \ln(0{,}05)$, et comme $\ln(0{,}8) < 0$, la division change le sens de l’inégalité :

$n \geq \frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}8)} \approx 13{,}4$

Le plus petit entier qui convient est $n = 14$. Vérification : $0{,}8^{13} \approx 0{,}0550 > 0{,}05$ et $0{,}8^{14} \approx 0{,}0440 \leq 0{,}05$ ✓.

4. On résout $0{,}8^n \leq 0{,}01$ : $n \geq \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}8)} \approx 20{,}6$, donc $n = 21$. Vérification : $0{,}8^{20} \approx 0{,}0115 > 0{,}01$ et $0{,}8^{21} \approx 0{,}0092 \leq 0{,}01$ ✓. (Un tableau de valeurs de $0{,}8^n$ à la calculatrice mène au même résultat sans logarithme.)

Réflexe à retenir : un problème de seuil se ramène presque toujours à $(1 - p)^n \leq \ldots$, résolu par tableau de valeurs ou par $\ln$ — et quand tu divises par $\ln(1 - p)$, qui est négatif, le sens de l’inégalité change. Termine par une vérification avec les deux valeurs de $n$ qui encadrent.

1. Le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise : on répète $20$ fois la même épreuve de Bernoulli (succès = « l’ampoule est défectueuse », de probabilité $0{,}05$), de manière indépendante. $X$ compte les succès : $X$ suit $\mathcal{B}(20\,;\,0{,}05)$.

2. $P(X = 0) = 0{,}95^{20} \approx 0{,}3585$. Puis, avec $\dbinom{20}{1} = 20$ :

$P(X = 1) = 20 \times 0{,}05 \times 0{,}95^{19} \approx 0{,}3774$

d’où $P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1) \approx 0{,}35849 + 0{,}37735 \approx 0{,}7358$ (valeur que la calculatrice donne directement avec la commande de probabilité cumulée).

3. « Au moins $3$ » a pour contraire « au plus $2$ » :

$P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2)$

Avec $\dbinom{20}{2} = \dfrac{20 \times 19}{2} = 190$ : $P(X = 2) = 190 \times 0{,}05^2 \times 0{,}95^{18} \approx 0{,}1887$, donc $P(X \leq 2) \approx 0{,}7358 + 0{,}1887 = 0{,}9245$ et :

$P(X \geq 3) \approx 1 - 0{,}9245 = 0{,}0755$

Le lot est refusé dans environ $7{,}6\,\%$ des cas.

4. $E(X) = np = 20 \times 0{,}05 = 1$ : en moyenne, un prélèvement de $20$ ampoules contient $1$ ampoule défectueuse.

Réflexe à retenir : commence toujours par décoder l’énoncé en inégalités (« au moins 3 » devient $X \geq 3$, de contraire $X \leq 2$), puis ramène tout aux deux commandes de ta calculatrice : $P(X = k)$ et $P(X \leq k)$.