Résumé — Le schéma de Bernoulli et la loi binomiale

Lancer dix fois une pièce, répondre au hasard à un QCM, tester vingt ampoules à la sortie d’une chaîne de production : à chaque fois, on répète la même expérience à deux issues et on compte les succès. Ce modèle, c’est le schéma de Bernoulli, et la loi du nombre de succès, c’est la loi binomiale — la grande vedette des probabilités de terminale. Nouveauté par rapport à la première : les coefficients binomiaux, l’outil qui compte les chemins de l’arbre sans avoir à le dessiner.

La succession d’épreuves indépendantes

Quand on enchaîne des expériences aléatoires indépendantes (le résultat de l’une n’influence pas les autres), une issue de l’expérience globale est une liste $(x_1\,;\,x_2\,;\,\ldots\,;\,x_n)$ , et une seule règle gouverne tout :

La probabilité d’une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat.
Sur un arbre, cela revient à multiplier les probabilités rencontrées le long du chemin.

Exemple : on lance un dé équilibré puis une pièce équilibrée. $P((6\,;\,\text{pile})) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{12}$ .

L’épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues : le succès, de probabilité $p$ , et l’échec, de probabilité $1 - p$ . La variable aléatoire $X$ qui vaut $1$ en cas de succès et $0$ sinon suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ , avec $E(X) = p$ et $V(X) = p(1 - p)$ .

Le schéma de Bernoulli et les coefficients binomiaux

Un schéma de Bernoulli est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Son arbre possède $2^n$ chemins — d’où le besoin d’un outil de comptage :

le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ (lire « $k$ parmi $n$ ») est le nombre de chemins de l’arbre réalisant exactement $k$ succès parmi les $n$ épreuves.

Valeurs immédiates : $\binom{n}{0} = 1$ (un seul chemin sans aucun succès), $\binom{n}{n} = 1$ et $\binom{n}{1} = n$ .
Symétrie : $\binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}$ — choisir les $k$ succès, c’est choisir les $n - k$ échecs.
Relation de Pascal : $\binom{n}{k} + \binom{n}{k + 1} = \binom{n + 1}{k + 1}$ .

Le triangle de Pascal

Chaque ligne commence et finit par $1$ , et chaque nombre est la somme des deux situés juste au-dessus (c’est la relation de Pascal). Lignes $0$ à $6$ : $1$ — $1\;\;1$ — $1\;\;2\;\;1$ — $1\;\;3\;\;3\;\;1$ — $1\;\;4\;\;6\;\;4\;\;1$ — $1\;\;5\;\;10\;\;10\;\;5\;\;1$ — $1\;\;6\;\;15\;\;20\;\;15\;\;6\;\;1$ . Pour lire $\binom{5}{2}$ : ligne $5$ , position $2$ (en comptant à partir de $0$ ), soit $10$ .

La loi binomiale

Dans un schéma de Bernoulli à $n$ épreuves de paramètre $p$ , la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ .

La loi binomiale ℬ(n ; p)

$P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^k (1 - p)^{n - k} \qquad E(X) = np \qquad V(X) = np(1 - p)$

Valable pour k allant de 0 à n. L’écart type est la racine carrée de la variance : σ(X) = √(np(1 − p)).

D’où sort la formule ? (démonstration éclair)

Un chemin qui réalise exactement $k$ succès traverse $k$ branches « succès » et $n - k$ branches « échec » : sa probabilité vaut $p^k(1 - p)^{n - k}$ (produit le long des branches). Il existe $\binom{n}{k}$ chemins de ce type, deux à deux incompatibles : on additionne leurs probabilités, d’où $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}$ .

Les calculs pratiques

Ta calculatrice calcule directement $P(X = k)$ et $P(X \leq k)$ (menu des distributions : commandes souvent nommées binomFdp et binomFRép). Tout le reste s’y ramène :

$P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)$ : pour une variable entière, le contraire de « au moins $k$ » est « au plus $k - 1$ ».
$P(k \leq X \leq k') = P(X \leq k') - P(X \leq k - 1)$ .
« Au moins un succès » : $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - p)^n$ .

Problème de seuil : chercher le plus petit $n$ tel que $P(X \geq 1) \geq 0{,}99$ avec $p = 0{,}5$ revient à résoudre $0{,}5^n \leq 0{,}01$ . Un tableau de valeurs (ou le logarithme) donne $n = 7$ , car $0{,}5^7 \approx 0{,}008$ alors que $0{,}5^6 \approx 0{,}016$ . Même logique pour chercher un intervalle $I$ tel que $P(X \in I)$ soit inférieure à un seuil $\alpha$ donné — ou supérieure à $1 - \alpha$ .

La représentation graphique

La loi binomiale se représente par un diagramme en bâtons : au-dessus de chaque valeur $k$ , un bâton de hauteur $P(X = k)$ . Les bâtons les plus hauts se trouvent autour de l’espérance $np$ : le diagramme est symétrique quand $p = 0{,}5$ , la « bosse » se déplace vers les petites valeurs quand $p < 0{,}5$ et vers les grandes quand $p > 0{,}5$ . Un coup d’œil au graphique suffit donc pour estimer où la loi concentre ses probabilités.

Les pièges classiques

Avant de foncer sur la formule

Vérifie le modèle : même expérience répétée, épreuves indépendantes, deux issues — un tirage sans remise n’est pas un schéma de Bernoulli (les probabilités changent à chaque tirage), mais on l’assimile à un tirage avec remise quand la population est très grande. Traduis bien les inégalités : $P(X < 5) = P(X \leq 4)$ et $P(X > 5) = P(X \geq 6)$ pour une variable entière. N’oublie pas le coefficient binomial dans $P(X = k)$ — sauf pour $k = 0$ ou $k = n$ , où il vaut $1$ . Et face à un « au moins un », passe systématiquement par l’événement contraire « aucun ».