La convexité

Regarde la courbe de $x \mapsto x^2$ : elle se creuse vers le haut, comme un bol. Celle de $x \mapsto \sqrt{x}$ : bombée vers le haut, comme un dôme. La convexité, c’est ce sens de courbure — une information que le tableau de variations ne voit pas, et qui pourtant dit tout de la position de la courbe par rapport à ses tangentes. Nouvel outil au passage : la dérivée seconde $f''$, la dérivée de la dérivée.

Convexe, concave : la définition par les sécantes

Une sécante (ou corde), c’est le segment qui relie deux points de la courbe.

• $f$ est convexe sur un intervalle $I$ lorsque sa courbe est située au-dessous de chacune de ses sécantes. Image mentale : le bol, la courbe « en creux ». Exemples : $x \mapsto x^2$ et $\exp$.
• $f$ est concave sur $I$ lorsque sa courbe est au-dessus de ses sécantes : le dôme. Exemples : $x \mapsto \sqrt{x}$ et $\ln$.
• Une fonction affine est à la fois convexe et concave : ses sécantes sont confondues avec sa courbe.

Le critère des tangentes

Pour une fonction dérivable sur $I$, on peut remplacer les sécantes par les tangentes — en inversant le sens :

• $f$ convexe $\iff$ la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes ;
• $f$ concave $\iff$ la courbe est au-dessous de toutes ses tangentes.

La dérivée seconde

On note $f''$ la dérivée de $f'$ (quand elle existe) : c’est la dérivée seconde de $f$.

Le point d’inflexion

Un point d’inflexion, c’est un point où la courbe traverse sa tangente : la convexité y change de sens (convexe d’un côté, concave de l’autre). Repérage pratique : $f''$ s’annule en changeant de signe. Exemple de référence : $x \mapsto x^3$, concave sur $]-\infty\,;\,0]$, convexe sur $[0\,;\,+\infty[$, avec un point d’inflexion à l’origine.

Lire la convexité sur une courbe — celle de f, de f′ ou de f″

• Sur la courbe de $f$ : cherche le sens de courbure (bol ou dôme) et les points où la courbe traverse sa tangente.
• Sur la courbe de $f'$ : $f$ est convexe là où $f'$ monte, concave là où $f'$ descend.
• Sur la courbe de $f''$ : $f$ est convexe là où la courbe de $f''$ est au-dessus de l’axe des abscisses ; les points d’inflexion de $f$ correspondent aux traversées de l’axe.

Démontrer une inégalité par convexité

C’est l’application vedette du chapitre, et elle tient en trois lignes. Exemple modèle : montrer que $e^x \geq x + 1$ pour tout réel $x$.

1. $\exp$ est convexe sur $\mathbb{R}$, car $(e^x)'' = e^x > 0$.
2. Sa tangente au point d’abscisse $0$ a pour équation $y = e^0 + e^0(x - 0)$, c’est-à-dire $y = x + 1$.
3. Courbe d’une fonction convexe au-dessus de ses tangentes : $e^x \geq x + 1$ pour tout réel $x$.

Les pièges classiques