Résumé — La convexité — Les Génies des Sciences

Regarde la courbe de $x \mapsto x^2$ : elle se creuse vers le haut, comme un bol. Celle de $x \mapsto \sqrt{x}$ : bombée vers le haut, comme un dôme. La convexité, c’est ce sens de courbure — une information que le tableau de variations ne voit pas, et qui pourtant dit tout de la position de la courbe par rapport à ses tangentes. Nouvel outil au passage : la dérivée seconde $f''$ , la dérivée de la dérivée.

Convexe, concave : la définition par les sécantes

Une sécante (ou corde), c’est le segment qui relie deux points de la courbe.

$f$ est convexe sur un intervalle $I$ lorsque sa courbe est située au-dessous de chacune de ses sécantes. Image mentale : le bol, la courbe « en creux ». Exemples : $x \mapsto x^2$ et $\exp$ .
$f$ est concave sur $I$ lorsque sa courbe est au-dessus de ses sécantes : le dôme. Exemples : $x \mapsto \sqrt{x}$ et $\ln$ .
Une fonction affine est à la fois convexe et concave : ses sécantes sont confondues avec sa courbe.

Le critère des tangentes

Pour une fonction dérivable sur $I$ , on peut remplacer les sécantes par les tangentes — en inversant le sens :

$f$ convexe $\iff$ la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes ;
$f$ concave $\iff$ la courbe est au-dessous de toutes ses tangentes.

Sécantes et tangentes jouent en miroir

Convexe : sous les sécantes, sur les tangentes. C’est logique avec le dessin du bol : les cordes passent au-dessus du creux, les tangentes s’appuient dessous. Au moindre doute, trace la parabole $y = x^2$ et vérifie sur elle.

La dérivée seconde

On note $f''$ la dérivée de $f'$ (quand elle existe) : c’est la dérivée seconde de $f$ .

Les trois visages de la convexité

$f \text{ convexe sur } I \iff f' \text{ croissante sur } I \iff f''(x) \geq 0 \text{ pour tout } x \text{ de } I$

Pour f deux fois dérivable sur I. Version concave : f′ décroissante ⟺ f″ ≤ 0. En pratique, on calcule f″ et on étudie son signe — exactement comme un signe de dérivée, un cran plus loin.

Le plan d’une étude de convexité

1. Calcule $f'$ , puis $f''$ . 2. Étudie le signe de $f''$ (souvent un facteur du premier degré multiplié par une quantité toujours positive, comme $e^x$ ). 3. Conclus : $f$ est convexe là où $f'' \geq 0$ , concave là où $f'' \leq 0$ — et chaque changement de signe de $f''$ donne un point d’inflexion.

Le point d’inflexion

Un point d’inflexion, c’est un point où la courbe traverse sa tangente : la convexité y change de sens (convexe d’un côté, concave de l’autre). Repérage pratique : $f''$ s’annule en changeant de signe. Exemple de référence : $x \mapsto x^3$ , concave sur $]-\infty\,;\,0]$ , convexe sur $[0\,;\,+\infty[$ , avec un point d’inflexion à l’origine.

S’annuler ne suffit pas

Pour $f(x) = x^4$ , on a $f''(x) = 12x^2$ : la dérivée seconde s’annule en $0$ … sans changer de signe. Pas de point d’inflexion — la courbe reste convexe sur $\mathbb{R}$ . Autre confusion à éviter : un point d’inflexion n’est pas un extremum. À l’inflexion, c’est $f''$ qui change de signe ; à l’extremum, c’est $f'$ .

Lire la convexité sur une courbe — celle de f, de f′ ou de f″

Sur la courbe de $f$ : cherche le sens de courbure (bol ou dôme) et les points où la courbe traverse sa tangente.
Sur la courbe de $f'$ : $f$ est convexe là où $f'$ monte, concave là où $f'$ descend.
Sur la courbe de $f''$ : $f$ est convexe là où la courbe de $f''$ est au-dessus de l’axe des abscisses ; les points d’inflexion de $f$ correspondent aux traversées de l’axe.

Démontrer une inégalité par convexité

C’est l’application vedette du chapitre, et elle tient en trois lignes. Exemple modèle : montrer que $e^x \geq x + 1$ pour tout réel $x$ .

$\exp$ est convexe sur $\mathbb{R}$ , car $(e^x)'' = e^x > 0$ .
Sa tangente au point d’abscisse $0$ a pour équation $y = e^0 + e^0(x - 0)$ , c’est-à-dire $y = x + 1$ .
Courbe d’une fonction convexe au-dessus de ses tangentes : $e^x \geq x + 1$ pour tout réel $x$ .

La recette « inégalité par convexité »

Une inégalité entre $f(x)$ et une expression affine $ax + b$ cache presque toujours une tangente. Trouve le point de contact (là où il y a égalité), justifie la convexité ou la concavité par le signe de $f''$ , écris l’équation de la tangente en ce point, et conclus par la position de la courbe. Fonction concave ? Même recette, la courbe passe au-dessous.

Les pièges classiques

Convexe ne veut pas dire croissante

$x \mapsto x^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$ tout en étant décroissante puis croissante : la convexité parle de la forme de la courbe, pas de son sens de variation. De même, le signe de $f''$ renseigne sur la convexité de $f$ — ni sur son signe, ni sur ses variations : trois tableaux différents, ne les mélange pas. Dernier réflexe : en un point d’inflexion, la tangente traverse la courbe, mais elle n’a aucune raison d’être horizontale.