Exercices — La convexité

1. $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$ et $f''(x) = 6x - 12$.

2. $f''(x) \geq 0 \iff 6x - 12 \geq 0 \iff x \geq 2$. Donc $f$ est concave sur $]-\infty\,;\,2]$ et convexe sur $[2\,;\,+\infty[$.

3. $f''$ s’annule en $2$ en changeant de signe : la courbe admet un point d’inflexion au point d’abscisse $2$. Son ordonnée : $f(2) = 8 - 24 + 18 + 1 = 3$. Le point d’inflexion est donc $I(2\,;\,3)$.

4. $f'(2) = 12 - 24 + 9 = -3$, donc la tangente en $I$ a pour équation $y = f(2) + f'(2)(x - 2) = 3 - 3(x - 2) = -3x + 9$. Ensuite :

$f(x) - (-3x + 9) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 + 3x - 9 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = (x - 2)^3$

(on vérifie en développant : $(x - 2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$ ✓). Cette différence est négative pour $x < 2$ et positive pour $x > 2$ : la courbe passe au-dessous puis au-dessus de sa tangente — elle la traverse. C’est exactement la définition d’un point d’inflexion.

Réflexe à retenir : une étude de convexité, c’est un signe de $f''$ — et un point d’inflexion, c’est $f''$ qui s’annule en changeant de signe, jamais une simple annulation.

1. La convexité de $f$ se lit sur les variations de $f'$ : $f'$ décroissante sur $[-3\,;\,0]$ donne $f$ concave sur $[-3\,;\,0]$, et $f'$ croissante sur $[0\,;\,4]$ donne $f$ convexe sur $[0\,;\,4]$. En $0$, la convexité change de sens : la courbe de $f$ admet un point d’inflexion au point d’abscisse $0$ (et c’est le seul).

2. $g''$ est un trinôme de racines $-1$ et $2$, avec un coefficient dominant positif : il est positif à l’extérieur des racines, négatif entre elles (règle du second degré vue en première). Donc :

• $g'' \geq 0$ sur $]-\infty\,;\,-1]$ et sur $[2\,;\,+\infty[$ : $g$ y est convexe ;
• $g'' \leq 0$ sur $[-1\,;\,2]$ : $g$ y est concave.

$g''$ s’annule en changeant de signe en $-1$ et en $2$ : la courbe de $g$ admet deux points d’inflexion, aux abscisses $-1$ et $2$.

Réflexe à retenir : trois lectures possibles de la convexité — courbure de la courbe de $f$, variations de $f'$, signe de $f''$. Sache passer de l’une à l’autre sans hésiter.

1. Dérivée d’un produit : $f'(x) = 1 \times e^x + x \times e^x = (x + 1)e^x$.

2. On redérive le produit : $f''(x) = 1 \times e^x + (x + 1)e^x = (x + 2)e^x$.

3. Comme $e^x > 0$ pour tout $x$, le signe de $f''(x)$ est celui de $x + 2$ : négatif pour $x \leq -2$, positif pour $x \geq -2$. Donc $f$ est concave sur $]-\infty\,;\,-2]$ et convexe sur $[-2\,;\,+\infty[$. En $-2$, $f''$ s’annule en changeant de signe : point d’inflexion de coordonnées $\left(-2\,;\,-2e^{-2}\right)$, car $f(-2) = -2e^{-2} \approx -0{,}27$.

4. Le signe de $f'(x)$ est celui de $x + 1$ : $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,-1]$ et croissante sur $[-1\,;\,+\infty[$, avec un minimum $f(-1) = -e^{-1} \approx -0{,}37$ atteint en $x = -1$.

Réflexe à retenir : avec une exponentielle en facteur, commence toujours par écrire « $e^x > 0$ » — le signe de $f'$ ou de $f''$ se réduit alors au signe d’un facteur tout simple.

1. $\exp$ est deux fois dérivable et $(e^x)'' = e^x > 0$ pour tout réel $x$ : $\exp$ est convexe sur $\mathbb{R}$.

2. Au point d’abscisse $0$ : $e^0 = 1$ et $(e^x)' = e^x$ donne une pente $e^0 = 1$. La tangente a pour équation $y = 1 + 1 \times (x - 0)$, c’est-à-dire $y = x + 1$.

3. La courbe d’une fonction convexe est située au-dessus de chacune de ses tangentes : pour tout réel $x$, $e^x \geq x + 1$ (avec égalité uniquement en $x = 0$).

4. Soit $t > 0$. En remplaçant $x$ par $\ln t$ : $e^{\ln t} \geq \ln t + 1$, c’est-à-dire $t \geq \ln t + 1$, d’où :

$\ln t \leq t - 1$

Graphiquement : la droite $y = t - 1$ est la tangente à la courbe de $\ln$ au point d’abscisse $1$, et la courbe de $\ln$ — fonction concave — reste au-dessous de ses tangentes.

Réflexe à retenir : la recette « inégalité par convexité » tient en trois lignes — signe de $f''$, équation de la tangente au point de contact, position de la courbe par rapport à sa tangente.

1. $f'(x) = 4x^3 - 12x^2$ et $f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x - 2)$.

2. $f''$ est un polynôme du second degré de racines $0$ et $2$, de coefficient dominant positif : positif à l’extérieur des racines, négatif entre elles. Donc $f$ est convexe sur $]-\infty\,;\,0]$, concave sur $[0\,;\,2]$, puis à nouveau convexe sur $[2\,;\,+\infty[$.

3. $f''$ s’annule en changeant de signe en $0$ et en $2$ : deux points d’inflexion. Leurs ordonnées : $f(0) = 0$ et $f(2) = 16 - 32 = -16$. Les points d’inflexion sont $(0\,;\,0)$ et $(2\,;\,-16)$.

4. $f(0) = 0$ et $f'(0) = 0$ : la tangente au point d’abscisse $0$ a pour équation $y = 0$ — c’est l’axe des abscisses. Par ailleurs $x^3(x - 4) = x^4 - 4x^3 = f(x)$ ✓. Étude du signe de ce produit :

• si $x < 0$ : $x^3 < 0$ et $x - 4 < 0$, donc $f(x) > 0$ — courbe au-dessus de la tangente ;
• si $0 < x < 4$ : $x^3 > 0$ et $x - 4 < 0$, donc $f(x) < 0$ — courbe au-dessous ;
• si $x > 4$ : $f(x) > 0$ — courbe à nouveau au-dessus.

En $0$, la courbe traverse sa tangente : on retrouve bien le point d’inflexion trouvé à la question 3.

Réflexe à retenir : une courbe peut avoir plusieurs points d’inflexion — un par changement de signe de $f''$ — et la position courbe/tangente se traite comme toujours : le signe d’une différence.