Les limites de fonctions Mathématiques · Tle · Les Génies des Sciences · geniesdessciences.com

Après les suites, les fonctions : que fait $f(x)$ quand $x$ part vers $+\infty$ , vers $-\infty$ , ou s’approche d’une valeur interdite ? Les idées sont les mêmes que pour les limites de suites — mêmes opérations, mêmes formes indéterminées, mêmes théorèmes de comparaison — avec deux nouveautés : les limites en un point et leur traduction graphique, les asymptotes.

Les limites de référence

Puissances : $\lim\limits_{x \to +\infty} x^n = +\infty$ ; en $-\infty$ , c’est $+\infty$ si $n$ est pair ( $x^2$ , $x^4$ …) et $-\infty$ si $n$ est impair ( $x^3$ , $x^5$ …).
Racine carrée : $\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$ .
Inverse : $\lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{1}{x} = 0$ , et en $0$ : $\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} \dfrac{1}{x} = +\infty$ , $\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x < 0}} \dfrac{1}{x} = -\infty$ .
Exponentielle : $\lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0$ .

Limite en un point, limites à gauche et à droite

En un point $a$ , une fonction peut avoir une limite finie (souvent sans mystère : la valeur $f(a)$ ) ou infinie — typiquement quand un dénominateur s’annule. Quand le comportement diffère selon le côté d’approche, on étudie séparément la limite à gauche ( $x \to a$ avec $x < a$ ) et à droite ( $x \to a$ avec $x > a$ ) : c’est le cas de $\dfrac{1}{x}$ en $0$ , qui plonge vers $-\infty$ à gauche et grimpe vers $+\infty$ à droite. Le juge de paix, c’est le signe du dénominateur de chaque côté — un petit tableau de signes évite toutes les erreurs.

Les asymptotes parallèles aux axes

Le dictionnaire limites ⟷ asymptotes

$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \ell \iff \text{la droite } y = \ell \text{ est asymptote horizontale à la courbe}$

$\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty \iff \text{la droite } x = a \text{ est asymptote verticale à la courbe}$

Une asymptote horizontale se lit à l’infini : la courbe s’aplatit sur la droite y = ℓ. Une asymptote verticale se lit en un point : la courbe file vers l’infini le long de la droite x = a.

Opérations et formes indéterminées

Les règles d’opérations (somme, produit, quotient) sont les mêmes que pour les suites, avec les mêmes quatre formes indéterminées : « $+\infty - \infty$ », « $0 \times \infty$ », « $\dfrac{\infty}{\infty}$ » et « $\dfrac{0}{0}$ ».

À l’infini, le terme dominant fait la loi

$x^2 - 100x = x^2\left(1 - \dfrac{100}{x}\right) \to +\infty$ quand $x \to +\infty$ : un polynôme a la limite de son terme de plus haut degré (à justifier par cette factorisation). Pour un quotient, factorise en haut et en bas : $\dfrac{2x^2 - 3x}{x^2 + 1} = \dfrac{2 - \frac{3}{x}}{1 + \frac{1}{x^2}} \to 2$ — et la courbe admet l’asymptote horizontale $y = 2$ .

La limite d’une composée

Pour une fonction « emboîtée » comme $e^{-x^2}$ , on suit les limites dans l’ordre, en posant une variable intermédiaire. Exemple en $+\infty$ : on pose $X = -x^2$ . Quand $x \to +\infty$ , $X \to -\infty$ ; et quand $X \to -\infty$ , $e^X \to 0$ . Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} e^{-x^2} = 0$ . Deux limites à enchaîner, rien de plus — le programme demande de savoir le faire en situation, pas de réciter un théorème général.

Comparaison et gendarmes

Les théorèmes vus pour les suites s’adaptent mot pour mot, en $+\infty$ , en $-\infty$ ou en un point :

Comparaison : si $f(x) \geq g(x)$ et $g(x) \to +\infty$ , alors $f(x) \to +\infty$ .
Gendarmes : si $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ et si $g$ et $h$ tendent vers la même limite $\ell$ , alors $f(x) \to \ell$ .

Exemple : pour $x > 0$ , $-\dfrac{1}{x} \leq \dfrac{\cos x}{x} \leq \dfrac{1}{x}$ , donc $\dfrac{\cos x}{x} \to 0$ quand $x \to +\infty$ .

Les croissances comparées

L’exponentielle écrase les puissances

$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \qquad \lim_{x \to -\infty} x\,e^x = 0$

Valable pour tout entier n ≥ 1. Dans un duel entre eˣ et une puissance de x, l’exponentielle gagne toujours — en +∞ comme en −∞. La démonstration du premier résultat est à connaître.

Ces résultats servent à lever des formes indéterminées où les opérations échouent : $\lim\limits_{x \to +\infty} x\,e^{-x} = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{e^x} = 0$ , alors que « $\infty \times 0$ » ne permettait aucune conclusion directe. Le réflexe de rédaction : écrire noir sur blanc « par croissances comparées ».

Les pièges classiques

Les réflexes qui sauvent

En un point interdit, détermine le signe du dénominateur de chaque côté : $\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x > 2}} \dfrac{5}{x - 2} = +\infty$ mais $\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x < 2}} \dfrac{5}{x - 2} = -\infty$ . Une forme indéterminée n’est pas une réponse : signale-la, puis transforme l’expression (factorisation du terme dominant, croissances comparées). $e^x$ tend vers $0$ en $-\infty$ mais ne s’annule jamais : la courbe s’écrase sur l’axe des abscisses sans le toucher. Les croissances comparées concernent le duel exponentielle contre puissances de $x$ — ne les invoque pas pour n’importe quel quotient.

Les limites de fonctions

Résumé de cours