Exercices — Les limites de fonctions

1. $x^3 \to +\infty$ et $\sqrt{x} \to +\infty$ : par somme, la limite est $+\infty$.

2. L’exposant est pair : $x^2 \to +\infty$ quand $x \to -\infty$ (le carré efface le signe). Par somme avec $5$, la limite est $+\infty$.

3. À droite de $0$ : $\dfrac{1}{x} \to +\infty$, donc la limite est $+\infty$. À gauche de $0$ : $\dfrac{1}{x} \to -\infty$, donc la limite est $-\infty$. Les deux côtés donnent des résultats différents — d’où l’importance de préciser $x > 0$ ou $x < 0$.

4. $e^x \to 0$ quand $x \to -\infty$, donc $e^x + 3 \to 3$. (Graphiquement : la droite $y = 3$ est asymptote horizontale à la courbe en $-\infty$.)

Réflexe à retenir : écris la limite de chaque morceau, puis combine — et dès qu’un dénominateur s’annule, étudie séparément la gauche et la droite du point.

1. Quand $x \to -\infty$, $x^3 \to -\infty$ mais $5x^2 \to +\infty$ : forme indéterminée « $-\infty + \infty$ ». On factorise par le terme dominant $x^3$ :

$x^3 + 5x^2 + 1 = x^3\left(1 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^3}\right)$

Or $x^3 \to -\infty$ et la parenthèse tend vers $1$ : par produit, la limite est $-\infty$.

2. Forme « $-\infty + \infty$ ». On factorise : $-2x^2 + 8x = x^2\left(-2 + \dfrac{8}{x}\right)$, avec $x^2 \to +\infty$ et la parenthèse qui tend vers $-2$ : la limite est $-\infty$.

3. Forme « $\dfrac{\infty}{\infty}$ ». On factorise par $x^2$ en haut et en bas :

$\frac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 + 1} = \frac{2 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} \to \frac{2}{1} = 2$

Interprétation : la droite d’équation $y = 2$ est asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$.

4. On factorise par $x$ en haut et $x^2$ en bas :

$\frac{x + 5}{x^2 + 1} = \frac{1}{x} \times \frac{1 + \frac{5}{x}}{1 + \frac{1}{x^2}}$

Or $\dfrac{1}{x} \to 0$ et la fraction tend vers $1$ : la limite est $0$.

Réflexe à retenir : à l’infini, un polynôme suit son terme de plus haut degré, un quotient suit le rapport des termes dominants — mais la rédaction attendue passe par la factorisation, pas par la règle apprise par cœur.

1. Forme « $\dfrac{\infty}{\infty}$ » : on factorise par $x$ en haut et en bas :

$f(x) = \frac{3 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}} \xrightarrow[x \to \pm\infty]{} \frac{3}{1} = 3$

La droite d’équation $y = 3$ est asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$ et en $-\infty$.

2. Quand $x \to 2$, le numérateur tend vers $3 \times 2 - 1 = 5 > 0$ : tout se joue sur le signe du dénominateur.

• À droite ($x > 2$) : $x - 2 \to 0$ en restant positif, donc $f(x) \to +\infty$ (un numérateur proche de $5$ divisé par un tout petit positif).
• À gauche ($x < 2$) : $x - 2 \to 0$ en restant négatif, donc $f(x) \to -\infty$.

La droite d’équation $x = 2$ est asymptote verticale à la courbe.

Réflexe à retenir : en un point interdit, calcule d’abord la limite du numérateur ; si elle n’est pas nulle, fais un mini tableau de signes du dénominateur et conclus côté par côté.

1. On pose $X = x^2 + 1$. Quand $x \to +\infty$, $X \to +\infty$ ; et quand $X \to +\infty$, $\sqrt{X} \to +\infty$. Donc la limite est $+\infty$.

2. On pose $X = -x^2$. Quand $x \to +\infty$, $X \to -\infty$ ; et quand $X \to -\infty$, $e^X \to 0$. Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} e^{-x^2} = 0$.

3. On pose $X = \dfrac{1}{x}$. Quand $x \to 0$ avec $x > 0$, $X \to +\infty$ ; et quand $X \to +\infty$, $e^X \to +\infty$. Donc la limite est $+\infty$.

4. Pour tout réel $x$, $-1 \leq \cos x \leq 1$. En divisant par $x > 0$ (le sens des inégalités est conservé) :

$-\frac{1}{x} \leq \frac{\cos x}{x} \leq \frac{1}{x}$

Les deux fonctions encadrantes tendent vers $0$ en $+\infty$ : par le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\cos x}{x} = 0$.

Réflexe à retenir : pour une composée, pose $X =$ l’expression intérieure et suis les limites dans l’ordre ; pour un quotient contenant $\cos$ ou $\sin$ (bornés mais sans limite), encadre puis appelle les gendarmes.

1. Quand $x \to -\infty$ : $x + 2 \to -\infty$, et $e^{-x} \to +\infty$ (car $-x \to +\infty$ et l’exponentielle tend vers $+\infty$ en $+\infty$). Par produit : $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$. (Aucune indétermination : « $-\infty$ fois $+\infty$ » donne $-\infty$.)

2. Comme $e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}$ :

$f(x) = \frac{x + 2}{e^x} = \frac{x}{e^x} + \frac{2}{e^x}$

Par croissances comparées, $\dfrac{x}{e^x} \to 0$ quand $x \to +\infty$ ; et $\dfrac{2}{e^x} \to 0$ (l’exponentielle tend vers $+\infty$). Par somme : $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0$. (Le produit brut « $+\infty \times 0$ » était une forme indéterminée : c’est la réécriture en quotient qui a permis de conclure.)

3. La limite de $f$ en $+\infty$ est finie et vaut $0$ : la droite d’équation $y = 0$ — l’axe des abscisses — est asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $+\infty$.

4. Une exponentielle est toujours strictement positive : $e^{-x} > 0$ pour tout $x$. Le signe de $f(x)$ est donc celui de $x + 2$ :

• $f(x) < 0$ pour $x < -2$ : la courbe est en dessous de son asymptote ;
• $f(-2) = 0$ : la courbe coupe l’axe des abscisses au point $(-2\,;\,0)$ ;
• $f(x) > 0$ pour $x > -2$ : la courbe est au-dessus de son asymptote — elle s’en approche donc par au-dessus quand $x \to +\infty$, sans jamais la toucher.

Réflexe à retenir : face à un duel entre $e^x$ et une puissance de $x$, réécris l’expression en quotient pour invoquer les croissances comparées — et traduis toujours une limite finie en $\pm\infty$ par une asymptote horizontale.