Fréquences et probabilités conditionnelles
Résumé de cours
Fréquences et probabilités conditionnelles Mathématiques · 2de · Les Génies des Sciences · geniesdessciences.com
« 90 % des malades ont un test positif » et « 90 % des tests positifs concernent des malades » : deux phrases qui se ressemblent… et deux affirmations très différentes. Ce chapitre apprend à croiser deux informations — et à ne plus jamais confondre les deux sens d’un « sachant que ».
Le tableau croisé d’effectifs
On croise deux variables qualitatives (sexe, niveau, réponse oui/non…) en comptant les individus de chaque combinaison. Exemple avec les membres d’un club d’échecs :
| Débutants | Confirmés | Total | |
|---|---|---|---|
| Filles | 15 | 15 | 30 |
| Garçons | 5 | 15 | 20 |
| Total | 20 | 30 | 50 |
- Fréquence marginale : la part d’une catégorie dans le total général — elle se lit dans la marge du tableau. Fréquence des filles : .
- Fréquence conditionnelle : la part calculée dans une seule ligne ou colonne. Parmi les filles, fréquence des débutantes : ; parmi les débutants, fréquence des filles : .
Pour compléter un tableau, fais parler les totaux : chaque ligne et chaque colonne doit « sommer juste ».
Repérer l’ensemble de référence
Dans « 50 % des filles sont débutantes », la condition est « être fille » ; dans « 75 % des débutants sont des filles », la condition est « être débutant ». Le groupe qui suit « des » ou « parmi les » donne le dénominateur. Deux phrases, deux calculs, deux nombres.
De la statistique aux probabilités
On tire au sort un individu dans la population, chacun ayant la même chance d’être choisi (équiprobabilité) : les fréquences deviennent alors des probabilités.
Tirage au sort équiprobable dans une population
Card(A) désigne le nombre d’individus de A, et Ω la population entière. La probabilité conditionnelle de A sachant B se calcule comme une fréquence conditionnelle : on restreint le total à B. Dans le club ci-dessus : P(fille) = 30/50 = 0,6 et P_débutant(fille) = 15/20 = 0,75.
La notation se lit « probabilité de sachant » ; elle suppose .
La loi des grands nombres (version vulgarisée)
Le pont entre fréquences et probabilités
« Lorsque n est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité. » Impossible de calculer la probabilité qu’une punaise retombe pointe en l’air ? Lance-la un très grand nombre de fois — ou simule avec Python ou un tableur — et observe la fréquence. La probabilité reste une hypothèse du modèle choisi : elle ne se démontre pas par l’expérience, elle s’en approche.
Les arbres de probabilité
Une situation en deux étapes se représente par un arbre pondéré. Deux règles suffisent :
- la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut ;
- on multiplie le long d’un chemin : le chemin « puis » a pour probabilité
Les branches du second niveau portent des probabilités conditionnelles : après la branche , la branche est pondérée par — et non par , ni par .
Les pièges classiques
Ne retourne jamais un « sachant que » de tête
et sont deux nombres différents. Un test qui détecte 90 % des malades — sa sensibilité, — ne garantit pas que 90 % des positifs soient malades. Si la maladie est rare, les faux positifs (non-malades testés positifs) peuvent dépasser en nombre les vrais positifs ; un malade testé négatif est, lui, un faux négatif, et la part de tests négatifs parmi les non-malades s’appelle la spécificité. Pour inverser un conditionnement, reviens toujours au tableau d’effectifs : on y lit les deux sens sans se tromper.