Exercices — Fréquences et probabilités conditionnelles

1. Une fréquence marginale se calcule avec l’effectif total : filles $\dfrac{120}{200} = 0{,}60 = 60\ \%$ ; demi-pensionnaires $\dfrac{150}{200} = 0{,}75 = 75\ \%$.

2. L’ensemble de référence se réduit aux $120$ filles : $\dfrac{96}{120} = 0{,}80 = 80\ \%$.

3. Cette fois, on se restreint aux $150$ demi-pensionnaires : $\dfrac{96}{150} = 0{,}64 = 64\ \%$.

4. Non : les deux phrases partent de la même case du tableau (les $96$ filles demi-pensionnaires), mais la divisent par deux totaux différents ($120$ filles pour l’une, $150$ demi-pensionnaires pour l’autre). Une fréquence conditionnelle n’a de sens qu’avec son ensemble de référence.

Réflexe à retenir : une fréquence conditionnelle se calcule en divisant une case du tableau par le total de sa ligne ou de sa colonne — jamais par l’effectif total.

1. On traduit chaque pourcentage en effectif. Joueurs de tennis : $0{,}60 \times 250 = 150$, donc $250 - 150 = 100$ joueurs de padel. Femmes au tennis : $40\ \%$ de $150$, soit $0{,}40 \times 150 = 60$. Femmes au padel : $120 - 60 = 60$. Le reste se déduit par différences :

2. $\dfrac{60}{100} = 0{,}60$ : $60\ \%$ des joueurs de padel sont des femmes.

3. $\dfrac{120}{250} = 0{,}48 = 48\ \%$ : c’est la part des femmes dans tout le club.

4. $\dfrac{60}{120} = 0{,}50$ : la moitié des femmes du club joue au tennis.

Réflexe à retenir : pour compléter un tableau croisé, transforme chaque pourcentage en effectif (proportion × effectif de référence), puis fais parler les totaux de lignes et de colonnes.

1. Le tirage est équiprobable : $P(M) = \dfrac{\text{Card}(M)}{\text{Card}(\Omega)} = \dfrac{30}{80} = 0{,}375$ et $P(B) = \dfrac{40}{80} = 0{,}5$.

2. $M \cap B$ : être mineur et préférer les BD, soit $18$ adhérents : $P(M \cap B) = \dfrac{18}{80} = 0{,}225$.

3. On restreint l’univers aux $30$ mineurs : $P_M(B) = \dfrac{\text{Card}(M \cap B)}{\text{Card}(M)} = \dfrac{18}{30} = 0{,}6$. Si l’adhérent tiré au sort est mineur, il y a $60\ \%$ de chances qu’il préfère les BD.

4. $P_B(M) = \dfrac{\text{Card}(M \cap B)}{\text{Card}(B)} = \dfrac{18}{40} = 0{,}45$. Les deux probabilités conditionnelles sont différentes ($0{,}45 \neq 0{,}6$) : même case commune, mais pas le même ensemble de référence.

Réflexe à retenir : au tirage au sort équiprobable, probabilité = fréquence. $P(A) = \text{Card}(A)/\text{Card}(\Omega)$, et pour une probabilité conditionnelle on change simplement de dénominateur.

1. La loi des grands nombres, version vulgarisée : « lorsque $n$ est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité ». Elle autorise à construire le modèle à partir des fréquences constatées.

2. Premier niveau : $S$ ($0{,}3$) et $\bar{S}$ ($0{,}7$, car $1 - 0{,}3 = 0{,}7$). Depuis $S$ : $D$ ($0{,}6$) et $\bar{D}$ ($0{,}4$). Depuis $\bar{S}$ : $D$ ($0{,}2$) et $\bar{D}$ ($0{,}8$). À chaque nœud, la somme des branches vaut bien $1$.

3. C’est la probabilité conditionnelle $P_S(D)$ : parmi les inscrits de seconde, la part de débutants. Ce n’est pas $P(S \cap D)$ : les branches du second niveau se lisent toujours « sachant » ce qui précède.

4. On multiplie le long de chaque chemin :

$P(S \cap D) = P(S) \times P_S(D) = 0{,}3 \times 0{,}6 = 0{,}18$

$18\ \%$ des inscrits sont des élèves de seconde débutants. De même :

$P(\bar{S} \cap D) = 0{,}7 \times 0{,}2 = 0{,}14$

$14\ \%$ des inscrits sont des débutants d’un autre niveau que la seconde.

5. Non. L’arbre est construit dans le sens « niveau, puis expérience » : il n’affiche que les probabilités conditionnelles sachant $S$ ou $\bar{S}$. Pour connaître $P_D(S)$, il faudrait inverser le conditionnement — cela se fait en revenant à un tableau d’effectifs, comme dans l’exercice suivant.

Réflexe à retenir : sur un arbre, chaque nœud somme à 1, et un chemin se lit en multipliant ses branches : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$.

1. Malades : $10\ \%$ de $1\ 000$, soit $100$ personnes — dont $90\ \%$ de tests positifs : $90$ positifs et $10$ négatifs. Non malades : $900$ personnes — dont $90\ \%$ de tests négatifs : $810$ négatifs et $90$ positifs. On complète par sommes :

2. Les $90$ personnes non malades testées positives sont les faux positifs ; les $10$ personnes malades testées négatives sont les faux négatifs.

3. $P(\text{malade}) = \dfrac{100}{1\ 000} = 0{,}1$. La sensibilité est la probabilité d’un test positif sachant que la personne est malade : $P_{\text{malade}}(\text{positif}) = \dfrac{90}{100} = 0{,}9$.

4. On se restreint aux $180$ personnes testées positives :

$P_{\text{positif}}(\text{malade}) = \frac{90}{180} = 0{,}5$

Le test « détecte $90\ \%$ des malades », et pourtant une personne testée positive n’a qu’une chance sur deux d’être réellement malade : $P_{\text{malade}}(\text{positif}) = 0{,}9$ mais $P_{\text{positif}}(\text{malade}) = 0{,}5$. Inverser le « sachant que » change tout.

5. La maladie est rare : les non-malades sont $9$ fois plus nombreux ($900$ contre $100$). Même avec seulement $10\ \%$ d’erreurs, ils produisent $90$ faux positifs — exactement autant que les $90$ vrais positifs. Dans le groupe des testés positifs, une personne sur deux seulement est malade.

Réflexe à retenir : pour retourner un « sachant que », pas de formule magique — construis le tableau d’effectifs et change simplement de total de référence.