Résumé — Fréquences et probabilités conditionnelles

« 90 % des malades ont un test positif » et « 90 % des tests positifs concernent des malades » : deux phrases qui se ressemblent… et deux affirmations très différentes. Ce chapitre apprend à croiser deux informations — et à ne plus jamais confondre les deux sens d’un « sachant que ».

Le tableau croisé d’effectifs

On croise deux variables qualitatives (sexe, niveau, réponse oui/non…) en comptant les individus de chaque combinaison. Exemple avec les $50$ membres d’un club d’échecs :

	Débutants	Confirmés	Total
Filles	15	15	30
Garçons	5	15	20
Total	20	30	50

Fréquence marginale : la part d’une catégorie dans le total général — elle se lit dans la marge du tableau. Fréquence des filles : $30 \div 50 = 60\ \%$ .
Fréquence conditionnelle : la part calculée dans une seule ligne ou colonne. Parmi les filles, fréquence des débutantes : $15 \div 30 = 50\ \%$ ; parmi les débutants, fréquence des filles : $15 \div 20 = 75\ \%$ .

Pour compléter un tableau, fais parler les totaux : chaque ligne et chaque colonne doit « sommer juste ».

Repérer l’ensemble de référence

Dans « 50 % des filles sont débutantes », la condition est « être fille » ; dans « 75 % des débutants sont des filles », la condition est « être débutant ». Le groupe qui suit « des » ou « parmi les » donne le dénominateur. Deux phrases, deux calculs, deux nombres.

De la statistique aux probabilités

On tire au sort un individu dans la population, chacun ayant la même chance d’être choisi (équiprobabilité) : les fréquences deviennent alors des probabilités.

Tirage au sort équiprobable dans une population

$P(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)} \qquad \text{et} \qquad P_B(A) = \frac{\text{Card}(A \cap B)}{\text{Card}(B)}$

Card(A) désigne le nombre d’individus de A, et Ω la population entière. La probabilité conditionnelle de A sachant B se calcule comme une fréquence conditionnelle : on restreint le total à B. Dans le club ci-dessus : P(fille) = 30/50 = 0,6 et P_débutant(fille) = 15/20 = 0,75.

La notation $P_A(B)$ se lit « probabilité de $B$ sachant $A$ » ; elle suppose $P(A) \neq 0$ .

La loi des grands nombres (version vulgarisée)

Le pont entre fréquences et probabilités

« Lorsque n est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité. » Impossible de calculer la probabilité qu’une punaise retombe pointe en l’air ? Lance-la un très grand nombre de fois — ou simule avec Python ou un tableur — et observe la fréquence. La probabilité reste une hypothèse du modèle choisi : elle ne se démontre pas par l’expérience, elle s’en approche.

Les arbres de probabilité

Une situation en deux étapes se représente par un arbre pondéré. Deux règles suffisent :

la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut $1$ ;
on multiplie le long d’un chemin : le chemin « $A$ puis $B$ » a pour probabilité

$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$

Les branches du second niveau portent des probabilités conditionnelles : après la branche $A$ , la branche $B$ est pondérée par $P_A(B)$ — et non par $P(B)$ , ni par $P(A \cap B)$ .

Les pièges classiques

Ne retourne jamais un « sachant que » de tête

$P_A(B)$ et $P_B(A)$ sont deux nombres différents. Un test qui détecte 90 % des malades — sa sensibilité, $P_{\text{malade}}(\text{positif})$ — ne garantit pas que 90 % des positifs soient malades. Si la maladie est rare, les faux positifs (non-malades testés positifs) peuvent dépasser en nombre les vrais positifs ; un malade testé négatif est, lui, un faux négatif, et la part de tests négatifs parmi les non-malades s’appelle la spécificité. Pour inverser un conditionnement, reviens toujours au tableau d’effectifs : on y lit les deux sens sans se tromper.