La trigonométrie

Un skateur qui réussit un 720°, une roue qui tourne de trois tours et demi, une rotation « dans l’autre sens »… Les angles du collège, coincés entre 0° et 180°, ne suffisent plus. En première, tu changes d’unité — le radian — et tu adoptes un outil qui transforme n’importe quel nombre réel en un point : le cercle trigonométrique.

Le cercle trigonométrique et le radian

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon 1, parcouru dans le sens direct : le sens inverse des aiguilles d’une montre. Son périmètre vaut $2\pi$. Sur ce cercle, un angle au centre découpe un arc, et la longueur de cet arc mesure l’angle en radians : un tour complet correspond à un arc de longueur $2\pi$, donc à $2\pi$ rad.

• Les conversions à connaitre par cœur : $30^\circ = \dfrac{\pi}{6}$, $45^\circ = \dfrac{\pi}{4}$, $60^\circ = \dfrac{\pi}{3}$, $90^\circ = \dfrac{\pi}{2}$, $180^\circ = \pi$, $360^\circ = 2\pi$.
• Plus généralement, sur un cercle de rayon $R$, un angle au centre de $\theta$ rad intercepte un arc de longueur $R\theta$ — sur le cercle trigonométrique ($R = 1$), longueur d’arc et angle en radians sont le même nombre.

L’enroulement de la droite des réels

Imagine la droite des réels comme un fil gradué, posé verticalement au point $I(1\,;\,0)$, puis enroulé autour du cercle : les réels positifs dans le sens direct, les négatifs dans l’autre sens. Chaque réel $x$ vient se coller sur un point $M$ du cercle : c’est le point image de $x$.

Cosinus et sinus d’un réel

Le cosinus et le sinus du réel $x$ sont les coordonnées de son point image : $M(\cos x\,;\,\sin x)$. Le cosinus se lit sur l’axe horizontal, le sinus sur l’axe vertical, et comme $M$ reste sur le cercle de rayon 1 : $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$ et $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$.

Pour $x$ entre $0$ et $\dfrac{\pi}{2}$, on retrouve le collège : dans le triangle rectangle formé avec le rayon $OM$ (hypoténuse de longueur 1), $\cos x = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ et $\sin x = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$. Les définitions de première prolongent celles du collège à tous les réels, y compris négatifs.

Les valeurs remarquables

Ces valeurs se démontrent : pour $\dfrac{\pi}{4}$, le point image est sur la bissectrice du premier quadrant, donc $\cos = \sin$, et la relation fondamentale donne $2\cos^2\dfrac{\pi}{4} = 1$ ; pour $\dfrac{\pi}{3}$, le triangle formé par $O$, $I(1\,;\,0)$ et le point image est équilatéral, et sa hauteur tombe au milieu de $[OI]$. Les deux démonstrations guidées t’attendent dans l’exercice 4.

Les angles associés : lire le cercle

Aucune formule à apprendre par cœur ici — des symétries à voir. Place le point image de $x$, puis :

• $-x$ : symétrique par rapport à l’axe des abscisses → $\cos(-x) = \cos x$ et $\sin(-x) = -\sin x$.
• $\pi - x$ : symétrique par rapport à l’axe des ordonnées → $\cos(\pi - x) = -\cos x$ et $\sin(\pi - x) = \sin x$.
• $\pi + x$ : symétrique par rapport au centre $O$ → $\cos(\pi + x) = -\cos x$ et $\sin(\pi + x) = -\sin x$.
• $\dfrac{\pi}{2} - x$ : abscisse et ordonnée s’échangent → $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$.

Exemple : $\cos\dfrac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = -\cos\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$. Avec le tableau des valeurs remarquables et ces quatre symétries, tu connais le cosinus et le sinus de tous les réels « remarquables » du cercle.

Les pièges classiques