Résumé — La trigonométrie — Les Génies des Sciences

Un skateur qui réussit un 720°, une roue qui tourne de trois tours et demi, une rotation « dans l’autre sens »… Les angles du collège, coincés entre 0° et 180°, ne suffisent plus. En première, tu changes d’unité — le radian — et tu adoptes un outil qui transforme n’importe quel nombre réel en un point : le cercle trigonométrique.

Le cercle trigonométrique et le radian

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon 1, parcouru dans le sens direct : le sens inverse des aiguilles d’une montre. Son périmètre vaut $2\pi$ . Sur ce cercle, un angle au centre découpe un arc, et la longueur de cet arc mesure l’angle en radians : un tour complet correspond à un arc de longueur $2\pi$ , donc à $2\pi$ rad.

Convertir degrés et radians

$180^\circ = \pi \text{ rad} \qquad x \text{ degrés} = x \times \frac{\pi}{180} \text{ rad}$

Tout est proportionnel : 60° = 60 × π/180 = π/3 rad, et π/4 rad = 180/4 = 45°. Un radian vaut environ 57,3° — c’est l’angle qui découpe un arc aussi long que le rayon.

Les conversions à connaitre par cœur : $30^\circ = \dfrac{\pi}{6}$ , $45^\circ = \dfrac{\pi}{4}$ , $60^\circ = \dfrac{\pi}{3}$ , $90^\circ = \dfrac{\pi}{2}$ , $180^\circ = \pi$ , $360^\circ = 2\pi$ .
Plus généralement, sur un cercle de rayon $R$ , un angle au centre de $\theta$ rad intercepte un arc de longueur $R\theta$ — sur le cercle trigonométrique ( $R = 1$ ), longueur d’arc et angle en radians sont le même nombre.

L’enroulement de la droite des réels

Imagine la droite des réels comme un fil gradué, posé verticalement au point $I(1\,;\,0)$ , puis enroulé autour du cercle : les réels positifs dans le sens direct, les négatifs dans l’autre sens. Chaque réel $x$ vient se coller sur un point $M$ du cercle : c’est le point image de $x$ .

Plusieurs réels, un même point

Un tour complet mesure $2\pi$ : les réels $x$ et $x + 2\pi$ (et $x - 2\pi$ , $x + 4\pi$ …) ont le même point image. Deux réels ont la même image exactement quand leur différence est un multiple de $2\pi$ : on dit que le point image est connu « à $2\pi$ près ». Exemple : $\dfrac{9\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi$ a la même image que $\dfrac{\pi}{4}$ .

Cosinus et sinus d’un réel

Le cosinus et le sinus du réel $x$ sont les coordonnées de son point image : $M(\cos x\,;\,\sin x)$ . Le cosinus se lit sur l’axe horizontal, le sinus sur l’axe vertical, et comme $M$ reste sur le cercle de rayon 1 : $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$ et $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$ .

La relation fondamentale

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$

C’est le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle de côtés |cos x| et |sin x|, d’hypoténuse 1 (le rayon). Elle permet de calculer l’un connaissant l’autre — au signe près, que la position sur le cercle t’indique.

Pour $x$ entre $0$ et $\dfrac{\pi}{2}$ , on retrouve le collège : dans le triangle rectangle formé avec le rayon $OM$ (hypoténuse de longueur 1), $\cos x = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ et $\sin x = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$ . Les définitions de première prolongent celles du collège à tous les réels, y compris négatifs.

Les valeurs remarquables

Le tableau à savoir refaire

$\begin{array}{c|ccccc} x & 0 & \dfrac{\pi}{6} & \dfrac{\pi}{4} & \dfrac{\pi}{3} & \dfrac{\pi}{2} \\[8pt] \hline \cos x & 1 & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{1}{2} & 0 \\[8pt] \sin x & 0 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{array}$

Moyen mnémotechnique : la ligne des sinus, c’est √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 — et la ligne des cosinus, la même à l’envers.

Ces valeurs se démontrent : pour $\dfrac{\pi}{4}$ , le point image est sur la bissectrice du premier quadrant, donc $\cos = \sin$ , et la relation fondamentale donne $2\cos^2\dfrac{\pi}{4} = 1$ ; pour $\dfrac{\pi}{3}$ , le triangle formé par $O$ , $I(1\,;\,0)$ et le point image est équilatéral, et sa hauteur tombe au milieu de $[OI]$ . Les deux démonstrations guidées t’attendent dans l’exercice 4.

Les angles associés : lire le cercle

Aucune formule à apprendre par cœur ici — des symétries à voir. Place le point image de $x$ , puis :

$-x$ : symétrique par rapport à l’axe des abscisses → $\cos(-x) = \cos x$ et $\sin(-x) = -\sin x$ .
$\pi - x$ : symétrique par rapport à l’axe des ordonnées → $\cos(\pi - x) = -\cos x$ et $\sin(\pi - x) = \sin x$ .
$\pi + x$ : symétrique par rapport au centre $O$ → $\cos(\pi + x) = -\cos x$ et $\sin(\pi + x) = -\sin x$ .
$\dfrac{\pi}{2} - x$ : abscisse et ordonnée s’échangent → $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$ .

Exemple : $\cos\dfrac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = -\cos\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$ . Avec le tableau des valeurs remarquables et ces quatre symétries, tu connais le cosinus et le sinus de tous les réels « remarquables » du cercle.

Les pièges classiques

Quatre erreurs qui coutent des points

Vérifie le mode de ta calculatrice : sin(30) ne donne pas le même résultat en degrés et en radians. Dans la famille des angles associés, $\pi - x$ est le seul cas où le sinus garde son signe — ne généralise pas les « moins ». La notation $\cos^2 x$ signifie $(\cos x)^2$ , jamais $\cos(x^2)$ . Enfin, un point du cercle correspond à une infinité de réels (à $2\pi$ près) : « le » réel d’image $M$ n’existe pas sans préciser un intervalle.