Exercices — La trigonométrie

1. On multiplie par $\dfrac{\pi}{180}$ :

$30^\circ = \frac{30\pi}{180} = \frac{\pi}{6} \qquad 45^\circ = \frac{45\pi}{180} = \frac{\pi}{4} \qquad 120^\circ = \frac{120\pi}{180} = \frac{2\pi}{3} \qquad 270^\circ = \frac{270\pi}{180} = \frac{3\pi}{2}$

2. Dans l’autre sens, on remplace $\pi$ par $180^\circ$ : $\dfrac{\pi}{5} = \dfrac{180^\circ}{5} = 36^\circ$ ; $\dfrac{5\pi}{6} = 5 \times 30^\circ = 150^\circ$ ; $\dfrac{3\pi}{4} = 3 \times 45^\circ = 135^\circ$.

3. Sur le cercle de rayon $1$, la longueur de l’arc est la mesure de l’angle en radians : l’arc mesure $\dfrac{2\pi}{3} \approx 2{,}09$.

4. Longueur d’arc et angle sont proportionnels : arc $=$ rayon $\times$ angle en radians, soit $3 \times \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} \approx 2{,}36$.

Réflexe à retenir : une conversion, c’est une proportionnalité avec $180^\circ = \pi$ rad — et sur le cercle trigonométrique, angle en radians et longueur d’arc sont le même nombre.

1. On enroule depuis $I(1\,;\,0)$ : $\dfrac{\pi}{3}$ est dans le premier quadrant (un tiers de demi-tour) ; $\dfrac{3\pi}{4}$ dans le deuxième quadrant (trois-quarts de demi-tour) ; $-\dfrac{\pi}{2}$ est un quart de tour dans le sens indirect, soit le point $(0\,;\,-1)$ ; $\pi$ est le demi-tour, soit le point $(-1\,;\,0)$.

2. On calcule la différence :

$\frac{13\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{12\pi}{6} = 2\pi$

Les deux réels diffèrent d’un tour complet : ils ont le même point image.

3. On retire des tours complets ($2\pi = \dfrac{8\pi}{4}$) jusqu’à tomber dans l’intervalle :

$\frac{17\pi}{4} - 2\pi = \frac{9\pi}{4} \qquad \text{puis} \qquad \frac{9\pi}{4} - 2\pi = \frac{\pi}{4}$

Le réel cherché est $\dfrac{\pi}{4}$, qui appartient bien à $\left]-\pi\,;\,\pi\right]$.

4. $\dfrac{5\pi}{3} - \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{6\pi}{3} = 2\pi$ : la différence est un tour complet, donc oui, ils ont le même point image (dans le quatrième quadrant).

Réflexe à retenir : deux réels ont le même point image exactement quand leur différence est un multiple de $2\pi$ — pour le vérifier, soustrais-les au lieu de les placer approximativement.

1. La relation $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ donne :

$\cos^2 x = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \qquad \text{donc} \qquad \cos x = \frac{4}{5} \ \text{ou} \ \cos x = -\frac{4}{5}$

Sur $\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]$ (deuxième quadrant), le point image est à gauche de l’axe des ordonnées : le cosinus y est négatif. Conclusion : $\cos x = -\dfrac{4}{5}$.

2. De même : $\sin^2 t = 1 - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}$, donc $\sin t = \pm\sqrt{\dfrac{8}{9}} = \pm\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ (car $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$).

Sur $\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\,0\right]$ (quatrième quadrant), le point image est sous l’axe des abscisses : le sinus y est négatif. Conclusion : $\sin t = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$.

3. $\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$, donc :

$\cos^2\frac{\pi}{6} + \sin^2\frac{\pi}{6} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1 \checkmark$

Réflexe à retenir : la relation fondamentale donne $\cos x$ (ou $\sin x$) au signe près — c’est le quadrant indiqué par l’intervalle qui tranche. Dessine toujours un petit cercle.

1. $\dfrac{\pi}{4}$ est la moitié de $\dfrac{\pi}{2}$ : l’angle $\widehat{IOM}$ vaut $45^\circ$, la moitié de l’angle droit. $M$ est donc sur la bissectrice du premier quadrant, la droite d’équation $y = x$ : son abscisse égale son ordonnée, c’est-à-dire $\cos\dfrac{\pi}{4} = \sin\dfrac{\pi}{4}$.

2. Dans la relation fondamentale, on remplace $\sin\dfrac{\pi}{4}$ par $\cos\dfrac{\pi}{4}$ :

$2\cos^2\frac{\pi}{4} = 1 \qquad \text{donc} \qquad \cos^2\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}$

Dans le premier quadrant, le cosinus est positif : $\cos\dfrac{\pi}{4} = \sqrt{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ — et $\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ aussi.

3. $OI = ON = 1$ (deux rayons) : le triangle $OIN$ est isocèle en $O$, avec un angle au sommet $\widehat{ION} = \dfrac{\pi}{3} = 60^\circ$. Ses deux angles à la base valent donc $\dfrac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ$ chacun : les trois angles valent $60^\circ$, le triangle est équilatéral (de côté 1).

4. Dans un triangle équilatéral, la hauteur issue de $N$ tombe au milieu de la base $[OI]$ : l’abscisse de $N$ vaut donc $\dfrac{1}{2}$, c’est-à-dire $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$. La relation fondamentale donne alors :

$\sin^2\frac{\pi}{3} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \qquad \text{donc} \qquad \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad (\text{positif dans le premier quadrant})$

5. Pour l’angle complémentaire $\dfrac{\pi}{2} - x$, cosinus et sinus s’échangent :

$\cos\frac{\pi}{6} = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \qquad \sin\frac{\pi}{6} = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

Réflexe à retenir : les valeurs remarquables ne tombent pas du ciel — bissectrice + relation fondamentale pour $\dfrac{\pi}{4}$, triangle équilatéral pour $\dfrac{\pi}{3}$. Savoir les retrouver, c’est l’assurance anti-trou-de-mémoire (et deux démonstrations exigibles).

1. $\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}$ ; $\dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6}$ ; $-\dfrac{\pi}{6}$ est directement de la forme $-x$. Sur le cercle : le point de $\dfrac{\pi}{6}$ est dans le premier quadrant, proche de l’axe des abscisses ; celui de $\dfrac{5\pi}{6}$ est son symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (deuxième quadrant) ; celui de $\dfrac{7\pi}{6}$ est son symétrique par rapport au centre $O$ (troisième quadrant) ; celui de $-\dfrac{\pi}{6}$ est son symétrique par rapport à l’axe des abscisses (quatrième quadrant).

2. On lit chaque symétrie sur le cercle :

$\cos\frac{5\pi}{6} = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \qquad \sin\frac{5\pi}{6} = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

$\cos\frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \qquad \sin\frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2} \qquad \text{(les deux signes changent : symétrie centrale)}$

$\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \qquad \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$

3. Pour l’angle complémentaire, cosinus et sinus s’échangent : $\cos\dfrac{\pi}{3} = \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$ et $\sin\dfrac{\pi}{3} = \cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

4. On retire un tour complet : $\dfrac{23\pi}{6} - 2\pi = \dfrac{23\pi}{6} - \dfrac{12\pi}{6} = \dfrac{11\pi}{6}$. Or $-\dfrac{\pi}{6} + 2\pi = \dfrac{11\pi}{6}$ : c’est donc $-\dfrac{\pi}{6}$ qui a le même point image que $\dfrac{23\pi}{6}$ (leur différence, $\dfrac{24\pi}{6} = 4\pi$, est bien un multiple de $2\pi$).

Réflexe à retenir : face à un angle inconnu, ramène-le à un angle du premier quadrant par une des trois symétries du cercle ($-x$, $\pi - x$, $\pi + x$) — dessine le cercle, lis les signes, et ne récite jamais une formule sans le dessin.