La fonction exponentielle

Un capital qui rapporte des intérêts, une population de bactéries qui double, un échantillon radioactif qui fond : dans tous ces phénomènes, la vitesse d’évolution est proportionnelle à la quantité présente. La fonction taillée pour ce mécanisme est l’exponentielle — définie par une propriété unique en son genre : elle est sa propre dérivée.

Une définition pas comme les autres

La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ vérifiant :

$f' = f \qquad \text{et} \qquad f(0) = 1$

L’existence et l’unicité sont admises en première. On la note $\exp$. Concrètement, $\exp'(x) = \exp(x)$ : en chaque point de la courbe, la pente de la tangente est égale à la hauteur du point.

Les propriétés algébriques

On pose $e = \exp(1) \approx 2{,}718$. La propriété fondamentale donne $\exp(n) = e^n$ pour tout entier $n$, ce qui justifie la notation $\exp(x) = e^x$ pour tout réel. Les règles sont celles des puissances :

$e^{x+y} = e^x\,e^y \qquad e^{-x} = \frac{1}{e^x} \qquad e^{x-y} = \frac{e^x}{e^y} \qquad (e^x)^n = e^{nx} \ (n \text{ dans } \mathbb{Z})$

Signe, variations, courbe

• Pour tout réel $x$ : $e^x > 0$ — strictement positif, jamais nul, jamais négatif.
• L’exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ (sa dérivée $e^x$ est strictement positive).
• La courbe passe par $(0\,;\,1)$ et $(1\,;\,e)$, avec pour tangente en $0$ la droite $y = x + 1$ ; elle s’écrase vers $0$ à gauche et grimpe de plus en plus vite à droite.

Dériver les fonctions exponentielles

Pour une valeur $k > 0$ : $t \mapsto e^{kt}$ est strictement croissante (croissance exponentielle) et $t \mapsto e^{-kt}$ strictement décroissante (décroissance exponentielle) — leurs courbes sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.

Le lien avec les suites géométriques

Pour un réel $a$ fixé, $e^{na} = (e^a)^n$ : la suite $u_n = e^{na}$ est géométrique de raison $e^a$. Autrement dit, aux abscisses entières, la fonction $t \mapsto e^{at}$ redonne exactement une suite géométrique : le modèle continu prolonge le modèle discret.

Modéliser avec l’exponentielle

• Croissance : un capital de $1000$ euros multiplié par $1{,}03$ chaque année suit la suite géométrique $1000 \times 1{,}03^n$ ; le modèle continu du même phénomène s’écrit $C(t) = 1000\,e^{kt}$, avec $e^k = 1{,}03$.
• Décroissance : la masse d’une substance radioactive suit $N(t) = N_0\,e^{-kt}$ (avec $k > 0$) : $N_0$ est la quantité initiale, et l’exposant négatif signe la désintégration.

Les pièges classiques