Exercices — La fonction exponentielle

1. Les exposants s’additionnent : $e^3 \times e^{-5} = e^{3 + (-5)} = e^{-2} = \dfrac{1}{e^2}$.

2. $\left(e^2\right)^4 = e^{2 \times 4} = e^8$.

3. $\left(e^x\right)^2 = e^{2x}$, donc $\left(e^x\right)^2 \times e^{-2x} = e^{2x} \times e^{-2x} = e^0 = 1$.

4. Diviser, c’est soustraire les exposants : $\dfrac{e^{x+2}}{e^{x-1}} = e^{(x+2) - (x-1)} = e^3$.

5. Pour tout réel $x$ : $e^x \times e^{-x} = e^0 = 1$. Si $e^x$ valait $0$, ce produit vaudrait $0$ et non $1$ — impossible. Donc $e^x$ ne s’annule jamais (et le cours précise mieux : $e^x > 0$ pour tout $x$).

Réflexe à retenir : trois règles gouvernent tout : $e^{a+b} = e^a e^b$, $e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}$ et $\left(e^a\right)^n = e^{na}$. Les exposants s’additionnent ou se soustraient — jamais les exponentielles entre elles.

1. L’exponentielle est sa propre dérivée : $f'(x) = 3e^x + 2x$.

2. Formule $\left(e^{at}\right)' = a\,e^{at}$ avec $a = 2$ : $g'(t) = 2e^{2t}$.

3. Avec $a = -0{,}4$ : $h'(t) = 5 \times (-0{,}4)\,e^{-0{,}4t} = -2e^{-0{,}4t}$.

4. Produit avec $u(x) = x$ ($u' = 1$) et $v(x) = e^x$ ($v' = e^x$) :

$k'(x) = 1 \times e^x + x \times e^x = (1 + x)e^x$

Réflexe à retenir : $\left(e^{at}\right)' = a\,e^{at}$ — le coefficient descend en facteur, l’exponentielle reste intacte. Et pense à factoriser le résultat : le signe de la dérivée se lira sur l’autre facteur, car l’exponentielle est toujours positive.

1. L’exponentielle est strictement croissante, donc $e^a = e^b \iff a = b$ : $3x - 1 = x + 5 \iff 2x = 6 \iff x = 3$.

2. On écrit $1 = e^0$ : l’équation devient $e^{2x} = e^0$, donc $2x = 0$, soit $x = 0$.

3. $x^2 = 4$, donc $x = 2$ ou $x = -2$ — deux solutions, ne perds pas la négative !

4. Croissance stricte toujours : $e^{2x+3} \leq e^x \iff 2x + 3 \leq x \iff x \leq -3$. L’ensemble des solutions est $]-\infty\,;\,-3]$.

5. Aucune écriture exacte disponible en première : on encadre par balayage. $e^{1{,}9} \approx 6{,}69$ (trop petit), $e^2 \approx 7{,}39$ (trop grand) ; en affinant : $e^{1{,}94} \approx 6{,}96$ et $e^{1{,}95} \approx 7{,}03$. La solution est $x \approx 1{,}95$ (l’outil exact arrivera en terminale).

Réflexe à retenir : un seul objectif : se ramener à $e^A = e^B$ (ou $e^A \leq e^B$) pour conclure $A = B$ (ou $A \leq B$) grâce à la croissance stricte. Pas de forme $e^B$ en face ? Balayage à la calculatrice.

1. Produit avec $u(x) = x - 1$ ($u' = 1$) et $v(x) = e^x$ ($v' = e^x$) :

$f'(x) = 1 \times e^x + (x - 1)e^x = (1 + x - 1)e^x = xe^x$

2. Comme $e^x > 0$ pour tout $x$, le signe de $f'(x)$ est celui de $x$ : négatif sur $]-\infty\,;\,0[$, positif sur $]0\,;\,+\infty[$. Donc $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ et croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.

3. Le minimum est atteint en $x = 0$ et vaut $f(0) = (0 - 1)e^0 = -1$.

4. Pour tout réel $x$ : $f(x) \geq f(0) = -1$, c’est-à-dire $(x - 1)e^x \geq -1$ ✓ — l’inégalité tombe directement du tableau de variations.

5. $f'(0) = 0 \times e^0 = 0$ : la tangente au point d’abscisse $0$ est horizontale, d’équation $y = -1$. Normal : on est au minimum de la fonction.

Réflexe à retenir : avec l’exponentielle, factorise $f'$ pour faire apparaitre $e^x$ (ou $e^{at}$), strictement positif : le signe de $f'$ se lit alors sur l’autre facteur.

1. $N(0) = 200\,e^0 = 200 \times 1 = 200$ : c’est la masse initiale de l’échantillon, le modèle est cohérent au départ.

2. Avec $\left(e^{at}\right)' = a\,e^{at}$ :

$N'(t) = 200 \times (-0{,}05)\,e^{-0{,}05t} = -10\,e^{-0{,}05t}$

Comme $e^{-0{,}05t} > 0$, on a $N'(t) < 0$ pour tout $t$ : $N$ est strictement décroissante. Cohérent : la substance se désintègre, la masse ne peut que diminuer.

3. $N(10) = 200\,e^{-0{,}5} \approx 200 \times 0{,}6065 \approx 121{,}3$ : il reste environ 121 mg.

4. On cherche $t$ tel que $N(t) = 100$ :

$200\,e^{-0{,}05t} = 100 \iff e^{-0{,}05t} = \frac{100}{200} = 0{,}5$

Balayage : pour $t = 13$, $e^{-0{,}65} \approx 0{,}522$ (encore trop grand) ; pour $t = 14$, $e^{-0{,}7} \approx 0{,}497$ (juste en dessous) ; en affinant, $t = 13{,}9$ donne $e^{-0{,}695} \approx 0{,}499$. La demi-vie vaut environ 13,9 années.

5. $u_n = 200\,e^{-0{,}05n} = 200\left(e^{-0{,}05}\right)^n$ : c’est une suite géométrique de premier terme $200$ et de raison $q = e^{-0{,}05} \approx 0{,}951$. Chaque année, la masse est multipliée par environ $0{,}951$ : elle baisse d’environ 4,9 % par an.

Réflexe à retenir : dans $N(t) = N_0\,e^{-kt}$, $N_0$ est la valeur initiale et le signe de l’exposant donne le sens d’évolution. Aux abscisses entières, le modèle continu redonne une suite géométrique de raison $e^{-k}$ : le discret et le continu racontent la même histoire.