Probabilités conditionnelles et indépendance

Un test de dépistage revient positif, une usine cherche d’où viennent ses pièces défectueuses, une plateforme te recommande une série « parce que tu as regardé ceci » : à chaque fois, une information vient mettre à jour une probabilité. C’est le travail des probabilités conditionnelles, rencontrées en seconde. En première, tu leur ajoutes trois outils redoutables : l’indépendance, la formule des probabilités totales et des arbres pondérés qui font presque tous les calculs à ta place.

Rappel de seconde : la probabilité conditionnelle

$P_A(B)$ se lit « probabilité de $B$ sachant $A$ » : la probabilité que $B$ se réalise quand on sait déjà que $A$ s’est réalisé.

L’indépendance de deux évènements

Deux évènements sont indépendants lorsque la réalisation de l’un ne change pas la probabilité de l’autre : $P_B(A) = P(A)$ (avec $P(B) \neq 0$).

• Justifier : dans un jeu de 32 cartes, $A$ = « obtenir un roi » et $B$ = « obtenir un cœur ». $P(A) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}$, $P(B) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}$ et $P(A \cap B) = \dfrac{1}{32}$ (le roi de cœur). Comme $\dfrac{1}{8} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{32}$, les évènements $A$ et $B$ sont indépendants : savoir que la carte est un cœur ne change rien à la probabilité que ce soit un roi.
• Utiliser : quand l’énoncé annonce deux épreuves indépendantes (deux dés, deux tirages avec remise…), cette hypothèse fait partie du modèle : tu as le droit de multiplier directement.

Partition de l’univers et probabilités totales

Des évènements $A_1, A_2, \dots, A_n$ forment une partition de l’univers (un « système complet d’évènements ») lorsqu’ils sont deux à deux incompatibles et que leur réunion est l’univers entier : chaque issue appartient à un et un seul des $A_i$. L’exemple le plus courant : un évènement $A$ et son contraire $\overline{A}$.

Sur un arbre pondéré, tout tient en trois règles :

• la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut $1$ ;
• la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités de ses branches ;
• la probabilité d’un évènement est la somme des probabilités des chemins qui y aboutissent — c’est la formule des probabilités totales en images.

Exemple : une usine produit 60 % de ses pièces sur la machine $M_1$ (dont 2 % de défectueuses) et 40 % sur $M_2$ (dont 5 % de défectueuses). La probabilité qu’une pièce prise au hasard soit défectueuse est :

$P(D) = 0{,}6 \times 0{,}02 + 0{,}4 \times 0{,}05 = 0{,}012 + 0{,}02 = 0{,}032$

soit 3,2 % de la production totale.

Répéter des épreuves indépendantes

• Succession de deux épreuves indépendantes : on la représente par un arbre ou un tableau à double entrée, et la probabilité d’un couple d’issues est le produit des probabilités. Lancer un dé équilibré puis une pièce équilibrée : $P(6 \text{ puis pile}) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{12}$.
• Épreuve de Bernoulli : une expérience à deux issues seulement — « succès », de probabilité $p$, et « échec », de probabilité $1 - p$.
• Répétition de $n \leqslant 4$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes : l’arbre compte $2^n$ chemins, et la probabilité d’un chemin est le produit de ses branches. Pour « exactement $k$ succès », on compte les chemins de l’arbre qui contiennent $k$ succès : avec $n = 3$, « exactement 2 succès » correspond aux trois chemins SSE, SES et ESS. (La formule générale pour compter sans arbre arrivera en terminale : en première, on dessine et on compte.)

Les pièges classiques