Les variables aléatoires

Le gain à une loterie, le nombre de piles sur trois lancers, le nombre de clients qui entreront dans la boutique : à chaque fois, une expérience aléatoire produit un nombre. C’est l’idée de la variable aléatoire — et avec elle, le hasard devient calculable : on peut prévoir une moyenne, mesurer une dispersion, décider si un jeu vaut le coup d’être joué.

Une variable aléatoire, c’est quoi ?

Une variable aléatoire $X$ est une fonction définie sur l’univers (fini) et à valeurs réelles : à chaque issue de l’expérience, elle associe un nombre. Elle sert à modéliser le résultat numérique d’une expérience aléatoire.

Exemple fil rouge : on lance deux pièces équilibrées et $X$ compte le nombre de « pile ». L’univers est $\{PP\,;\,PF\,;\,FP\,;\,FF\}$ et $X(PP) = 2$, $X(PF) = X(FP) = 1$, $X(FF) = 0$.

• $\{X = a\}$ désigne l’évènement « $X$ prend la valeur $a$ » : l’ensemble des issues envoyées sur $a$. Ici $\{X = 1\} = \{PF\,;\,FP\}$, donc $P(X = 1) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$.
• $\{X \leqslant a\}$ désigne « $X$ prend une valeur inférieure ou égale à $a$ », de probabilité $P(X \leqslant a)$.
• Entraine-toi à traduire dans les deux sens : « obtenir au plus un pile » s’écrit $\{X \leqslant 1\}$ ; inversement, $P(X = 2)$ se lit « la probabilité d’obtenir deux piles ». Et « au moins deux » se traduit par $\{X \geqslant 2\}$.

La loi de probabilité

Donner la loi de $X$, c’est donner toutes ses valeurs possibles $x_i$ et leurs probabilités $p_i = P(X = x_i)$ — en général dans un tableau :

$x_i$	$0$	$1$	$2$
$P(X = x_i)$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{4}$

Vérification indispensable : la somme des probabilités vaut toujours $1$. Ici $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = 1$ ✓.

L’espérance : la moyenne du hasard

• Fil rouge : $E(X) = 0 \times \dfrac{1}{4} + 1 \times \dfrac{1}{2} + 2 \times \dfrac{1}{4} = 1$ — en moyenne, un pile par double lancer.
• Interprétation : si on répète l’expérience un très grand nombre de fois, la moyenne des valeurs observées se rapproche de $E(X)$. C’est la loi des grands nombres, que tu peux voir à l’œuvre en simulant avec Python.
• Lien avec les statistiques : tire au sort un individu dans une population et note $X$ la valeur d’un caractère (une taille, une note…) ; l’espérance de $X$ est exactement la moyenne du caractère dans la population. Moyenne (statistique) et espérance (probabilités) sont les deux faces de la même pièce.
• Linéarité : $E(aX + b) = a\,E(X) + b$ et $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$. Redoutablement efficace : pour un dé équilibré, $E(X) = 3{,}5$ ; pour la somme $S$ de deux dés, inutile de déterminer la loi de $S$ (11 valeurs !) : $E(S) = 3{,}5 + 3{,}5 = 7$.

Variance et écart type : mesurer la dispersion

La variance est la moyenne pondérée des carrés des écarts à l’espérance :

$V(X) = p_1\,(x_1 - E(X))^2 + \dots + p_n\,(x_n - E(X))^2$

Plus les valeurs de $X$ tombent souvent loin de $E(X)$, plus $V(X)$ est grande. L’écart type $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ ramène cette mesure dans la même unité que $X$.

Fil rouge, par les deux méthodes. Par définition : $V(X) = \dfrac{1}{4}(0 - 1)^2 + \dfrac{1}{2}(1 - 1)^2 + \dfrac{1}{4}(2 - 1)^2 = \dfrac{1}{4} + 0 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$. Par König-Huygens : $E(X^2) = 0 \times \dfrac{1}{4} + 1 \times \dfrac{1}{2} + 4 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{2}$, puis $V(X) = \dfrac{3}{2} - 1^2 = \dfrac{1}{2}$. Même résultat ✓, et $\sigma(X) = \sqrt{0{,}5} \approx 0{,}71$.

Le jeu équitable

Les pièges classiques