Exercices — Les variables aléatoires

1. En notant P pour pile et F pour face, l’univers est $\{PP\,;\,PF\,;\,FP\,;\,FF\}$ : quatre issues équiprobables, de probabilité $\dfrac{1}{4}$ chacune. La variable $X$ associe un nombre à chaque issue : $X(PP) = 2$, $X(PF) = X(FP) = 1$ et $X(FF) = 0$. Elle prend donc les valeurs $0$, $1$ et $2$.

2. $\{X = 1\}$ est l’évènement « obtenir exactement un pile » : il est réalisé par les issues $PF$ et $FP$. Donc $P(X = 1) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$.

3. De même, $P(X = 0) = P(\{FF\}) = \dfrac{1}{4}$ et $P(X = 2) = P(\{PP\}) = \dfrac{1}{4}$. La loi de $X$ :

Vérification : $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = 1$ ✓.

4. « Au plus un pile » signifie « zéro ou un pile » : c’est l’évènement $\{X \leqslant 1\}$. Donc :

$P(X \leqslant 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4}$

Réflexe à retenir : une variable aléatoire est une fonction — commence toujours par lister l’univers, puis les valeurs prises. Et distingue bien $\{X = a\}$, qui est un évènement (un ensemble d’issues), de $P(X = a)$, qui est un nombre.

1. Les probabilités sont toutes positives et $0{,}1 + 0{,}3 + 0{,}4 + 0{,}2 = 1$ ✓ : c’est bien une loi de probabilité.

2. Chaque valeur est pondérée par sa probabilité :

$E(X) = -2 \times 0{,}1 + 0 \times 0{,}3 + 1 \times 0{,}4 + 3 \times 0{,}2 = -0{,}2 + 0 + 0{,}4 + 0{,}6 = 0{,}8$

3. On pondère les carrés des écarts à l’espérance :

$V(X) = 0{,}1 \times (-2 - 0{,}8)^2 + 0{,}3 \times (0 - 0{,}8)^2 + 0{,}4 \times (1 - 0{,}8)^2 + 0{,}2 \times (3 - 0{,}8)^2$

$V(X) = 0{,}1 \times 7{,}84 + 0{,}3 \times 0{,}64 + 0{,}4 \times 0{,}04 + 0{,}2 \times 4{,}84 = 0{,}784 + 0{,}192 + 0{,}016 + 0{,}968 = 1{,}96$

4. D’abord l’espérance des valeurs au carré, avec les mêmes probabilités :

$E(X^2) = 4 \times 0{,}1 + 0 \times 0{,}3 + 1 \times 0{,}4 + 9 \times 0{,}2 = 0{,}4 + 0 + 0{,}4 + 1{,}8 = 2{,}6$

Puis $V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 2{,}6 - 0{,}8^2 = 2{,}6 - 0{,}64 = 1{,}96$. Même résultat, avec des calculs nettement plus légers.

5. $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{1{,}96} = 1{,}4$.

Réflexe à retenir : sauf si l’énoncé impose la définition, choisis König-Huygens — les carrés des valeurs sont plus simples que les carrés des écarts. Et contrôle final : une variance est toujours positive.

1. Le tirage est équiprobable : $P(\text{as}) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}$, $P(\text{roi}) = \dfrac{1}{8}$, et sinon la probabilité vaut $\dfrac{24}{32} = \dfrac{3}{4}$. Avec une mise de 2 euros, les gains algébriques sont $8 - 2 = 6$, $4 - 2 = 2$ et $-2$ :

$E(X) = 6 \times \dfrac{1}{8} + 2 \times \dfrac{1}{8} + (-2) \times \dfrac{3}{4} = 0{,}75 + 0{,}25 - 1{,}5 = -0{,}5$

En moyenne, sur un grand nombre de parties, le joueur perd 50 centimes par partie : le jeu lui est défavorable.

2. Notons $Y$ la somme reçue (sans compter la mise) : $Y$ vaut $8$, $4$ ou $0$, et

$E(Y) = 8 \times \dfrac{1}{8} + 4 \times \dfrac{1}{8} + 0 \times \dfrac{3}{4} = 1 + 0{,}5 = 1{,}5$

Comme $X = Y - m$, la linéarité de l’espérance donne $E(X) = E(Y) - m = 1{,}5 - m$. (Vérification avec la question 1 : $1{,}5 - 2 = -0{,}5$ ✓.)

3. Le jeu est équitable lorsque $E(X) = 0$, c’est-à-dire $1{,}5 - m = 0$, soit $m = 1{,}5$ : une mise de 1,50 euro rend le jeu équitable.

Réflexe à retenir : gain algébrique = somme reçue moins la mise. Sépare les deux : l’espérance de la somme reçue se calcule une fois pour toutes, puis $E(X) = E(Y) - m$ par linéarité — et « équitable » se traduit toujours par $E(X) = 0$.

1. Le dé est équilibré : $X$ prend les valeurs $1$ à $6$, chacune avec la probabilité $\dfrac{1}{6}$. D’où :

$E(X) = \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \dfrac{21}{6} = 3{,}5$

2. Le joueur reçoit $2X$ et paie $7$, donc $Y = 2X - 7$. Par linéarité de l’espérance :

$E(Y) = E(2X - 7) = 2\,E(X) - 7 = 2 \times 3{,}5 - 7 = 0$

L’espérance du gain algébrique est nulle : le jeu est équitable.

3. En notant $X_1$ et $X_2$ les résultats des deux dés, $S = X_1 + X_2$, donc :

$E(S) = E(X_1) + E(X_2) = 3{,}5 + 3{,}5 = 7$

4. Déterminer la loi de $S$ demanderait de lister ses 11 valeurs (de $2$ à $12$) et de compter, parmi les 36 couples de résultats, ceux qui réalisent chacune… La linéarité court-circuite tout : l’espérance d’une somme est la somme des espérances, sans avoir besoin de connaitre la loi de la somme.

Réflexe à retenir : dès que la variable s’écrit $aX + b$ ou comme une somme de variables plus simples, calcule l’espérance par linéarité — c’est souvent la différence entre trois lignes de calcul et une page entière.

1. Les 10 secteurs sont équiprobables. Les gains algébriques sont $20 - 4 = 16$ (un secteur sur dix), $5 - 4 = 1$ (deux secteurs sur dix) et $-4$ (sept secteurs sur dix) :

2. $E(X) = 16 \times 0{,}1 + 1 \times 0{,}2 + (-4) \times 0{,}7 = 1{,}6 + 0{,}2 - 2{,}8 = -1$. En moyenne, un joueur perd 1 euro par partie : le jeu est défavorable au joueur (et donc favorable à l’association).

3. Ce que les joueurs perdent, l’association le gagne : en moyenne 1 euro par partie. Sur 150 parties, elle peut prévoir un gain moyen d’environ 150 euros. (C’est une moyenne : le gain réel fluctuera autour de cette valeur.)

4. D’abord l’espérance des valeurs au carré :

$E(X^2) = 16^2 \times 0{,}1 + 1^2 \times 0{,}2 + (-4)^2 \times 0{,}7 = 25{,}6 + 0{,}2 + 11{,}2 = 37$

Puis, par König-Huygens :

$V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 37 - (-1)^2 = 36 \qquad \sigma(X) = \sqrt{36} = 6$

L’écart type (6 euros) est grand devant l’espérance : le résultat d’une partie est très dispersé — c’est le principe même d’un jeu de hasard.

5. Notons $Y$ la somme rapportée par la roue, indépendamment de la mise : $E(Y) = 20 \times 0{,}1 + 5 \times 0{,}2 + 0 \times 0{,}7 = 2 + 1 = 3$. Pour une mise $m$, le gain algébrique est $X = Y - m$, donc $E(X) = 3 - m$ par linéarité. Le jeu est équitable pour $m = 3$ : une mise de 3 euros. (Vérification : avec $m = 4$, on retrouve $E(X) = 3 - 4 = -1$ ✓.)

Réflexe à retenir : dans un problème de jeu type contrôle, le déroulé est toujours le même : loi du gain algébrique → espérance (et son interprétation en moyenne sur un grand nombre de parties) → König-Huygens pour la variance → mise équitable en résolvant $E(X) = 0$.