La dérivation : nombre dérivé et tangente

Le compteur d’une voiture n’affiche pas une vitesse moyenne : il affiche ta vitesse à cet instant précis. Mais comment capturer une vitesse « instantanée », alors qu’une vitesse se calcule toujours entre deux instants ? C’est exactement le problème que résout la dérivation — l’outil le plus puissant de l’année, celui qui te suivra jusqu’en terminale et bien au-delà.

Le taux de variation

Entre $a$ et $a + h$, la fonction $f$ varie de $f(a+h) - f(a)$ pendant que $x$ varie de $h$. Le taux de variation, c’est le rapport des deux :

• Entre deux valeurs $a$ et $b$, il s’écrit $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$. En physique, tu croiseras la notation $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.
• Exemple avec la fonction carré, entre $1$ et $1 + h$ : $\dfrac{(1+h)^2 - 1}{h} = \dfrac{2h + h^2}{h} = 2 + h$.

Le nombre dérivé

Rapproche $h$ de $0$ : le deuxième point glisse vers le premier, la sécante pivote… et le taux de variation se stabilise vers une valeur. Cette valeur limite est le nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$. Dans l’exemple ci-dessus, $2 + h$ se rapproche de $2$ : pour la fonction carré, $f'(1) = 2$. (Pas de définition savante de « limite » en première : l’intuition et le calcul suffisent.)

Trois lectures du même nombre :

• En géométrie : $f'(a)$ est la pente de la tangente à la courbe au point d’abscisse $a$.
• En cinématique : si $f(t)$ est une position, $f'(a)$ est la vitesse instantanée à l’instant $a$.
• En économie : $f'(a)$ est le cout marginal, ce que coute (environ) la production d’une unité supplémentaire.

La tangente

Quand les sécantes pivotent vers leur position limite, la droite obtenue est la tangente : la droite qui « épouse » la courbe au point $A(a\,;\,f(a))$, avec la pente $f'(a)$.

D’où vient-elle ? Une droite de pente $m$ passant par $A(a\,;\,f(a))$ vérifie $y - f(a) = m(x - a)$ ; avec $m = f'(a)$, on isole $y$ et c’est fini. Exemple : pour la fonction carré en $a = 1$, on obtient $y = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1$.

Lire et construire une tangente

• Lecture graphique : $f'(a)$ se lit comme la pente de la tangente, en prenant deux points bien choisis de la tangente : $f'(a) = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.
• Construction connaissant $f'(a)$ : depuis le point de la courbe, avance de $1$ vers la droite, monte de $f'(a)$ (descends si c’est négatif), puis relie.
• Tangente horizontale en $a$ si, et seulement si, $f'(a) = 0$.

L’approximation linéaire

Zoome sur une courbe régulière : elle devient indiscernable de sa tangente. Près de $a$, remplacer la courbe par la fonction affine tangente $x \mapsto f(a) + f'(a)(x - a)$ donne d’excellentes valeurs approchées.

Les pièges classiques