Le second degré

La trajectoire d’un ballon, le profil d’une antenne parabolique, la recherche d’une aire maximale : derrière tout ça, une fonction polynôme du second degré $f(x) = ax^2 + bx + c$ (avec $a \neq 0$) et sa courbe, la parabole. En première, ce chapitre passe à la vitesse supérieure : trois écritures de la même fonction, et un nouvel outil décisif — le discriminant — pour résoudre toutes les équations $ax^2 + bx + c = 0$.

Une fonction, trois costumes

• Forme développée $ax^2 + bx + c$ : on y lit $c = f(0)$, l’ordonnée à l’origine — et elle sert à calculer le discriminant.
• Forme canonique $a(x - \alpha)^2 + \beta$ : on y lit le sommet $S(\alpha\,;\,\beta)$ de la parabole, donc l’extremum et les variations.
• Forme factorisée $a(x - x_1)(x - x_2)$ : on y lit les racines $x_1$ et $x_2$ et le signe. Elle n’existe pas toujours !

La forme factorisée : racines, signe, somme et produit

Si $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$, la fonction s’annule exactement en $x_1$ et $x_2$ : ce sont ses racines. Et les fonctions du second degré qui s’annulent en deux réels distincts $x_1$ et $x_2$ sont exactement les $a(x - x_1)(x - x_2)$ avec $a \neq 0$.

• Signe : $f(x)$ est du signe de $a$ à l’extérieur des racines, du signe contraire entre elles (un tableau de signes du produit le redémontre en deux lignes).
• Somme et produit : en développant, $f(x) = a\left(x^2 - sx + p\right)$ où $s = x_1 + x_2$ et $p = x_1 x_2$. En comparant avec $ax^2 + bx + c$ : $s = -\dfrac{b}{a}$ et $p = \dfrac{c}{a}$.

La forme canonique

Le passage à la forme canonique s’appuie sur l’identité $x^2 + 2ax = (x + a)^2 - a^2$ (méthode de complétion du carré). Exemple : $x^2 + 6x + 1 = (x + 3)^2 - 9 + 1 = (x + 3)^2 - 8$.

• En général : $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$. (Le calcul dans le cas général n’est pas un attendu : en pratique, on complète le carré sur des cas simples.)
• Extremum : si $a > 0$, la parabole est tournée vers le haut et $f$ admet un minimum $\beta$ atteint en $x = \alpha$ (décroissante avant, croissante après) ; si $a < 0$, c’est un maximum.

Le discriminant et la résolution de l’équation

La factorisation éventuelle suit le même classement :

• $\Delta > 0$ : $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ ;
• $\Delta = 0$ : $f(x) = a(x - x_0)^2$ avec $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ ;
• $\Delta < 0$ : pas de factorisation en facteurs du premier degré.

Le signe du trinôme

La règle tient en une phrase : $ax^2 + bx + c$ est du signe de $a$ à l’extérieur des racines, du signe contraire entre les racines. S’il n’y a pas de racine ($\Delta < 0$), le trinôme garde le signe de $a$ pour tout $x$ ; si $\Delta = 0$, il garde le signe de $a$ et ne s’annule qu’une fois, en $x_0$. C’est l’outil qui résout toutes les inéquations du second degré.

Choisir la forme adaptée

• Équation ou inéquation ($f(x) = 0$, $f(x) \geq k$…) : forme factorisée — ou discriminant si aucune factorisation rapide ne saute aux yeux.
• Optimisation, extremum, variations : forme canonique.
• Valeur en $0$, calcul du discriminant : forme développée.

Avant de dégainer le discriminant, prends dix secondes : facteur commun $x$ (si $c = 0$), identité remarquable, racine évidente, somme-produit. $\Delta$ marche toujours — mais c’est souvent le chemin le plus long.

Les pièges classiques