Exercices — Le second degré

1. Un produit est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs est nul : $x - 3 = 0$ donne $x = 3$, et $x + 1 = 0$ donne $x = -1$. Les racines de $f$ sont $3$ et $-1$.

2. $f(x) = 2(x^2 + x - 3x - 3) = 2(x^2 - 2x - 3) = 2x^2 - 4x - 6$.

3. Somme : $s = 3 + (-1) = 2$ ; produit : $p = 3 \times (-1) = -3$. Avec la forme développée ($a = 2$, $b = -4$, $c = -6$) : $-\dfrac{b}{a} = \dfrac{4}{2} = 2 = s$ ✓ et $\dfrac{c}{a} = \dfrac{-6}{2} = -3 = p$ ✓.

4. Ici $a = 2 > 0$ : $f(x)$ est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles. Autrement dit : $f(x) > 0$ pour $x < -1$ ou $x > 3$, $f(x) < 0$ pour $-1 < x < 3$, et $f(x) = 0$ en $-1$ et en $3$. Donc :

$f(x) \leq 0 \iff x \in [-1\,;\,3]$

Réflexe à retenir : la forme factorisée donne tout de suite les racines et le signe — règle d’or : signe de $a$ à l’extérieur des racines, signe contraire entre les racines.

1. On complète le carré avec $2a = 4$, donc $a = 2$ :

$g(x) = x^2 + 4x - 5 = (x + 2)^2 - 4 - 5 = (x + 2)^2 - 9$

2. Un carré est toujours positif ou nul, donc $g(x) \geq -9$, avec égalité si, et seulement si, $x = -2$ : le minimum de $g$ vaut $-9$, atteint en $x = -2$. La fonction est décroissante sur $]-\infty\,;\,-2]$ puis croissante sur $[-2\,;\,+\infty[$ (parabole tournée vers le haut, de sommet $S(-2\,;\,-9)$).

3. On reconnait une différence de deux carrés :

$g(x) = (x + 2)^2 - 3^2 = (x + 2 - 3)(x + 2 + 3) = (x - 1)(x + 5)$

Les racines de $g$ sont $1$ et $-5$.

4. $g(x) = -5 \iff x^2 + 4x - 5 = -5 \iff x^2 + 4x = 0 \iff x(x + 4) = 0$. Deux solutions : $x = 0$ et $x = -4$. (Inutile de dégainer le discriminant : une factorisation par $x$ suffit !)

Réflexe à retenir : la forme canonique, c’est la forme de l’extremum — et quand une équation se simplifie, cherche d’abord un facteur commun ou une identité remarquable avant de calculer $\Delta$.

1. $a = 2$, $b = -3$, $c = -2$ : $\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \times 2 \times (-2) = 9 + 16 = 25 > 0$. Deux solutions :

$x_1 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2} \qquad x_2 = \frac{3 + 5}{4} = 2$

Factorisation (sans oublier le facteur $a$ !) : $2x^2 - 3x - 2 = 2\left(x + \dfrac{1}{2}\right)(x - 2) = (2x + 1)(x - 2)$.

2. $\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times 3 = 1 - 12 = -11 < 0$ : aucune solution réelle, et pas de factorisation possible. (La parabole reste entièrement au-dessus de l’axe des abscisses.)

3. $\Delta = (-6)^2 - 4 \times 9 \times 1 = 36 - 36 = 0$ : une racine double $x_0 = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{6}{18} = \dfrac{1}{3}$. Factorisation : $9\left(x - \dfrac{1}{3}\right)^2 = (3x - 1)^2$.

4. D’après la question 1, les racines de $2x^2 - 3x - 2$ sont $-\dfrac{1}{2}$ et $2$, avec $a = 2 > 0$ : le trinôme est strictement négatif entre ses racines. Donc :

$2x^2 - 3x - 2 < 0 \iff x \in \left]-\frac{1}{2}\,;\,2\right[$

Réflexe à retenir : calcule $\Delta$ en posant des parenthèses autour des nombres négatifs — la quasi-totalité des erreurs vient de $b^2$ avec $b$ négatif, ou de $-4ac$ avec $c$ négatif. Et pour le signe : signe de $a$ dehors, signe contraire entre les racines.

1. Différence de deux carrés : $x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7)$. Racines : $7$ et $-7$.

2. Facteur commun $x$ : $3x^2 + 5x = x(3x + 5)$. Racines : $0$ et $-\dfrac{5}{3}$. (Coefficient $c$ nul → $0$ est toujours racine.)

3. Identité remarquable : $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$. Racine double : $5$.

4. Les racines ont pour somme $s = -\dfrac{b}{a} = -3$ et pour produit $p = \dfrac{c}{a} = -10$. Deux nombres de somme $-3$ et de produit $-10$ : ce sont $2$ et $-5$ (en effet $2 + (-5) = -3$ ✓ et $2 \times (-5) = -10$ ✓). Donc $x^2 + 3x - 10 = (x - 2)(x + 5)$.

5. $3 - 5 + 2 = 0$, c’est-à-dire $a + b + c = 0$ : donc $1$ est une racine évidente. Le produit des racines vaut $\dfrac{c}{a} = \dfrac{2}{3}$, donc l’autre racine est $\dfrac{2}{3}$. Factorisation : $3(x - 1)\left(x - \dfrac{2}{3}\right) = (x - 1)(3x - 2)$.

Réflexe à retenir : le discriminant marche toujours, mais c’est souvent le chemin le plus long. Avant de dégainer $\Delta$, teste dans l’ordre : facteur commun (si $c = 0$), identité remarquable, racine évidente ($a + b + c = 0$ → racine $1$ ; $a - b + c = 0$ → racine $-1$), somme-produit.

1. Les deux côtés perpendiculaires au mur mesurent $x$ chacun : il reste $20 - 2x$ mètres de grillage pour le côté parallèle au mur. L’aire du rectangle est donc $A(x) = x(20 - 2x)$, bien définie pour $0 < x < 10$ (sinon un côté serait négatif ou nul).

2. $A(x) = 20x - 2x^2 = -2x^2 + 20x$. On construit la forme canonique en factorisant par $-2$ puis en complétant le carré :

$-2x^2 + 20x = -2(x^2 - 10x) = -2\left[(x - 5)^2 - 25\right] = -2(x - 5)^2 + 50$

Vérification en développant : $-2(x - 5)^2 + 50 = -2x^2 + 20x - 50 + 50 = -2x^2 + 20x$ ✓.

3. Comme $-2(x - 5)^2 \leq 0$ pour tout $x$, on a $A(x) \leq 50$, avec égalité si, et seulement si, $x = 5$. L’aire maximale vaut donc $50$ m², obtenue pour $x = 5$ — un enclos de $5$ mètres sur $10$ mètres.

4. On résout $A(x) \geq 42$ :

$-2x^2 + 20x - 42 \geq 0 \iff x^2 - 10x + 21 \leq 0$

(on a divisé par $-2$, qui est négatif : le sens de l’inégalité change). Discriminant : $\Delta = (-10)^2 - 4 \times 1 \times 21 = 100 - 84 = 16$, d’où les racines $x_1 = \dfrac{10 - 4}{2} = 3$ et $x_2 = \dfrac{10 + 4}{2} = 7$. Le trinôme $x^2 - 10x + 21$ (avec $a = 1 > 0$) est négatif ou nul entre ses racines :

$A(x) \geq 42 \iff x \in [3\,;\,7]$

Réflexe à retenir : un problème d’optimisation appelle la forme canonique (extremum), une inéquation appelle la factorisation et le signe du trinôme — et quand tu divises une inégalité par un nombre négatif, son sens change.