Les fonctions dérivées

Au chapitre précédent, tu calculais la pente en un point, à la main, avec un taux de variation. Bonne nouvelle : ce travail se fait une fois pour toutes. La fonction dérivée est la machine qui, à chaque $x$, associe directement la pente $f'(x)$ — et un petit catalogue de formules remplace tous les calculs de limites.

De la pente en un point à la fonction dérivée

Si $f$ admet un nombre dérivé en chaque point d’un intervalle $I$, on dit que $f$ est dérivable sur $I$. La fonction $f' : x \mapsto f'(x)$, qui associe à chaque abscisse la pente de la tangente, est la fonction dérivée de $f$.

Les dérivées de référence

À connaitre par cœur — tout le reste s’en déduit :

• Constante $k$ : dérivée $0$ (une fonction qui ne varie pas a des tangentes horizontales partout).
• $x \mapsto x$ : dérivée $1$.
• Carré $x \mapsto x^2$ : dérivée $2x$, sur $\mathbb{R}$.
• Cube $x \mapsto x^3$ : dérivée $3x^2$, sur $\mathbb{R}$.
• Inverse $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ : dérivée $-\dfrac{1}{x^2}$, sur $]-\infty\,;\,0[$ et sur $]0\,;\,+\infty[$.
• Racine carrée $x \mapsto \sqrt{x}$ : dérivée $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$, sur $]0\,;\,+\infty[$ seulement.
• Puissances $x \mapsto x^n$ pour $n$ dans $\mathbb{Z}$ : dérivée $nx^{n-1}$. La formule résume tout le catalogue et vaut aussi pour les exposants négatifs : $\dfrac{1}{x^3} = x^{-3}$ a pour dérivée $-3x^{-4} = -\dfrac{3}{x^4}$.

Pourquoi la racine carrée n’est pas dérivable en 0 : le taux de variation entre $0$ et $h$ vaut $\dfrac{\sqrt{h}}{h} = \dfrac{1}{\sqrt{h}}$, qui devient arbitrairement grand quand $h$ se rapproche de $0$ — pas de limite finie, donc pas de nombre dérivé. Graphiquement, la courbe démarre avec une tangente verticale.

Les opérations sur les fonctions dérivables

• Somme : $(u + v)' = u' + v'$ — on dérive terme à terme.
• Constante en facteur : $(ku)' = ku'$.
• Inverse : $\left(\dfrac{1}{v}\right)' = -\dfrac{v'}{v^2}$.
• Quotient : $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ — comme le produit, mais avec un moins au milieu, le tout sur $v^2$.

Deux exemples :

• $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$ donne $f'(x) = 6x - 5$ (terme à terme, la constante disparait).
• $g(x) = \dfrac{x+1}{x-2}$ donne $g'(x) = \dfrac{(x - 2) - (x + 1)}{(x - 2)^2} = \dfrac{-3}{(x - 2)^2}$.

La valeur absolue : un point anguleux

Pour $f(x) = |x|$, le taux de variation entre $0$ et $h$ vaut $\dfrac{|h|}{h}$ : c’est $1$ si $h > 0$, mais $-1$ si $h < 0$. Deux « pentes limites » différentes selon le côté : pas de nombre dérivé en 0. La courbe en V a un point anguleux — impossible d’y poser une tangente unique. Partout ailleurs, $f$ est dérivable (pente $-1$ à gauche de $0$, pente $1$ à droite).

Les pièges classiques