Exercices — Les fonctions dérivées

1. Terme à terme : $f'(x) = 3x^2 - 10x + 7$ (la constante $-3$ dérive en $0$).

2. La constante reste en facteur : $g'(x) = 4 \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{2}{\sqrt{x}}$.

3. $h'(x) = 2 \times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right) + 2x = -\dfrac{2}{x^2} + 2x$.

4. $k(x) = x^{-3}$, donc avec la formule $(x^n)' = nx^{n-1}$ : $k'(x) = -3x^{-4} = -\dfrac{3}{x^4}$.

Réflexe à retenir : une somme se dérive terme à terme, une constante multiplicative reste en facteur, et l’écriture $\dfrac{1}{x^p} = x^{-p}$ permet d’utiliser la formule $(x^n)' = nx^{n-1}$, valable pour tout $n$ dans $\mathbb{Z}$.

1. a) On pose $u(x) = 3x - 1$ (donc $u'(x) = 3$) et $v(x) = x^2 + 2$ (donc $v'(x) = 2x$) :

$f'(x) = u'v + uv' = 3(x^2 + 2) + (3x - 1) \times 2x = 3x^2 + 6 + 6x^2 - 2x = 9x^2 - 2x + 6$

b) En développant : $f(x) = 3x^3 + 6x - x^2 - 2$, puis terme à terme : $f'(x) = 9x^2 - 2x + 6$. Même résultat — la vérification est gratuite !

2. On pose $u(x) = x$ et $v(x) = \sqrt{x}$ :

$g'(x) = 1 \times \sqrt{x} + x \times \frac{1}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{x}{2\sqrt{x}}$

Or $\dfrac{x}{2\sqrt{x}} = \dfrac{\sqrt{x}}{2}$ (car $x = \sqrt{x} \times \sqrt{x}$), donc :

$g'(x) = \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2} = \frac{3}{2}\sqrt{x} = \frac{3\sqrt{x}}{2}$

Réflexe à retenir : $(uv)' = u'v + uv'$, jamais $u'v'$. Quand le développement est possible, il fournit une vérification gratuite — utilise-la systématiquement en contrôle.

1. Formule de l’inverse avec $v(x) = x^2 + 1$ (donc $v'(x) = 2x$) :

$f'(x) = -\frac{v'}{v^2} = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$

2. a) Formule du quotient avec $u(x) = 2x + 3$ ($u' = 2$) et $v(x) = x - 1$ ($v' = 1$) :

$g'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2(x - 1) - (2x + 3)}{(x - 1)^2} = \frac{2x - 2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} = \frac{-5}{(x - 1)^2}$

b) Le numérateur $-5$ est strictement négatif et le dénominateur $(x-1)^2$ strictement positif sur $]1\,;\,+\infty[$ : donc $g'(x) < 0$ pour tout $x$ de l’intervalle. Au chapitre suivant, on en déduira que $g$ est strictement décroissante sur $]1\,;\,+\infty[$.

Réflexe à retenir : dans $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$, le dénominateur est toujours positif — le signe de la dérivée se joue entièrement au numérateur. Et respecte l’ordre : $u'v$ d’abord, le moins au milieu.

1. a) En retranchant puis rajoutant $u(a)v(a+h)$ :

$u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a+h) + u(a)v(a+h) - u(a)v(a) = \left[u(a+h) - u(a)\right]v(a+h) + u(a)\left[v(a+h) - v(a)\right]$

b) En divisant par $h$, le taux de variation du produit s’écrit :

$t(h) = \frac{u(a+h) - u(a)}{h} \times v(a+h) + u(a) \times \frac{v(a+h) - v(a)}{h}$

On reconnait les taux de variation de $u$ et de $v$ ! Quand $h$ tend vers $0$ : le premier tend vers $u'(a)$, le second vers $v'(a)$, et $v(a + h)$ se rapproche de $v(a)$. Au total :

$(uv)'(a) = u'(a)v(a) + u(a)v'(a)$

2. Pour $h > 0$ : $\dfrac{\sqrt{h} - \sqrt{0}}{h} = \dfrac{\sqrt{h}}{h} = \dfrac{1}{\sqrt{h}}$. Quand $h$ se rapproche de $0$, $\dfrac{1}{\sqrt{h}}$ devient arbitrairement grand (pour $h = 0{,}0001$, il vaut déjà $100$) : pas de limite finie, donc pas de nombre dérivé en 0. Graphiquement, la courbe démarre à la verticale : tangente verticale à l’origine.

3. Pour $h > 0$ : $\dfrac{|h|}{h} = \dfrac{h}{h} = 1$. Pour $h < 0$ : $\dfrac{|h|}{h} = \dfrac{-h}{h} = -1$. Le taux de variation vaut $1$ d’un côté et $-1$ de l’autre : pas de limite unique, donc pas de nombre dérivé en $0$. C’est le point anguleux de la courbe en V — aucune tangente ne peut s’y poser.

Réflexe à retenir : pour étudier la dérivabilité en un point, reviens toujours au taux de variation. Deux façons d’échouer : le taux explose (tangente verticale, racine carrée) ou il hésite entre deux valeurs (point anguleux, valeur absolue).

1. Terme à terme : $f'(x) = 3x^2 - 3$.

2. $f(2) = 8 - 6 + 1 = 3$ et $f'(2) = 3 \times 4 - 3 = 9$. D’où :

$y = f(2) + f'(2)(x - 2) = 3 + 9(x - 2) = 9x - 15$

Vérification : pour $x = 2$, $y = 18 - 15 = 3 = f(2)$ ✓.

3. Tangente horizontale $\iff f'(x) = 0 \iff 3x^2 - 3 = 0 \iff x^2 = 1 \iff x = 1$ ou $x = -1$. Avec $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$ et $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$ : les points cherchés sont $(1\,;\,-1)$ et $(-1\,;\,3)$.

4. a) Quotient avec $u = x + 1$ ($u' = 1$) et $v = x - 1$ ($v' = 1$) :

$g'(x) = \frac{(x - 1) - (x + 1)}{(x - 1)^2} = \frac{-2}{(x - 1)^2}$

b) $g(2) = \dfrac{3}{1} = 3$ et $g'(2) = \dfrac{-2}{1} = -2$. D’où :

$y = 3 - 2(x - 2) = -2x + 7$

5. Parallèle à $y = 9x$ signifie même pente : on résout $f'(x) = 9$, soit $3x^2 - 3 = 9$, donc $x^2 = 4$, d’où $x = 2$ ou $x = -2$. Avec $f(2) = 3$ (déjà calculé) et $f(-2) = -8 + 6 + 1 = -1$ : oui, aux points $(2\,;\,3)$ et $(-2\,;\,-1)$. (Au point d’abscisse $2$, la tangente est même celle de la question 2, de pente $9$.)

Réflexe à retenir : la dérivée transforme les questions de tangentes en équations : pente donnée $m$ → résoudre $f'(x) = m$ ; tangente horizontale → résoudre $f'(x) = 0$ ; parallèles → égaler les pentes.