Résumé — Le produit scalaire — Les Génies des Sciences

Tirer une valise dont la poignée est inclinée : seule une partie de ta force sert vraiment à avancer. Mesurer cette « partie utile », c’est exactement ce que fait le produit scalaire — une multiplication entre deux vecteurs dont le résultat est un nombre. Ce nombre encode angles et longueurs : c’est l’outil métrique de la première, celui qui démontre des angles droits par le calcul.

Deux définitions équivalentes

La formule avec le cosinus

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\left(\vec{u}\,;\,\vec{v}\right)$

Le produit des normes, pondéré par l’angle. Exemple : deux vecteurs de normes 2 et 3 formant un angle de π/4 donnent 2 × 3 × √2/2 = 3√2. Si l’un des vecteurs est nul, le produit scalaire vaut 0.

Avec la projection orthogonale : si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$ , alors

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH} = \begin{cases} AB \times AH & \text{si } \overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{AH} \text{ sont de même sens} \\ -AB \times AH & \text{sinon} \end{cases}$

Autrement dit : on écrase $\overrightarrow{AC}$ sur la direction de $\overrightarrow{AB}$ , et on multiplie les longueurs — avec un signe donné par le sens. Angle aigu → positif, angle obtus → négatif.

L’orthogonalité, la propriété star

Produit scalaire nul = vecteurs orthogonaux

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ si, et seulement si, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux (par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur). C’est LE test d’angle droit de la première : fini la réciproque de Pythagore, un produit scalaire nul suffit.

Les règles de calcul

Le produit scalaire se manipule presque comme un produit de nombres :

Symétrie : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ .
Bilinéarité : $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k\,(\vec{u} \cdot \vec{v})$ et $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ — on développe comme en algèbre.
Carré scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$ (l’angle est nul, son cosinus vaut 1).

En base orthonormée : les coordonnées

La formule express

$\vec{u}\,(x\,;\,y) \ \text{ et } \ \vec{v}\,(x'\,;\,y') \ : \qquad \vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' \qquad \|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Produit des abscisses plus produit des ordonnées. Critère d’orthogonalité : xx′ + yy′ = 0. Exemple : u(6 ; −4) et v(2 ; 3) donnent 12 − 12 = 0 → orthogonaux.

Bonus utile : dans la base orthonormée $(\vec{i}\,;\,\vec{j})$ , les coordonnées de $\vec{u}$ sont elles-mêmes des produits scalaires : $x = \vec{u} \cdot \vec{i}$ et $y = \vec{u} \cdot \vec{j}$ .

Développer des normes

En développant $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v})$ grâce à la bilinéarité, on obtient de vraies identités remarquables :

$\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2 \qquad \|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2$

En isolant $\vec{u} \cdot \vec{v}$ dans la première : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)$ — de quoi calculer un produit scalaire avec seulement des longueurs, sans angle ni coordonnées.

La formule d’Al-Kashi

Le « Pythagore avec angle »

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\,\cos\widehat{A}$

Dans le triangle ABC, avec a = BC (le côté opposé à l’angle Â), b = CA et c = AB. Si Â est droit, cos Â = 0 : on retrouve Pythagore. La démonstration (exercice 3) tient en une ligne de produit scalaire.

Elle sert dans les deux sens : calculer un côté connaissant deux côtés et l’angle entre eux, ou calculer un angle connaissant les trois côtés.

MA · MB et le cercle de diamètre [AB]

En introduisant $I$ , le milieu de $[AB]$ , on transforme l’expression (démonstration guidée dans l’exercice 4) :

$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4}$

Conséquence : $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 \iff MI = \dfrac{AB}{2}$ , c’est-à-dire que l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ est le cercle de diamètre $[AB]$ . Autre lecture : $M$ voit le segment $[AB]$ sous un angle droit exactement quand $M$ est sur ce cercle — le théorème « du triangle inscrit dans le demi-cercle », version produit scalaire.

Quelle méthode choisir ?

Quatre routes vers le même nombre

Tu as des coordonnées → $xx' + yy'$ . Tu as les normes et l’angle → $\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos(\vec{u}\,;\,\vec{v})$ . Tu as une figure avec un angle droit (carré, rectangle, hauteur…) → la projection orthogonale. Tu n’as que des longueurs → les développements de $\|\vec{u} \pm \vec{v}\|^2$ . Choisir la bonne route, c’est 80 % de l’exercice.

Les pièges classiques

Quatre erreurs qui coutent des points

Le produit scalaire est un nombre, jamais un vecteur : écrire « $\vec{u} \cdot \vec{v}\,(x\,;\,y)$ » est un non-sens. Il peut être négatif (angle obtus) : ne saute pas au carré sans réfléchir. $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ n’implique pas qu’un des vecteurs est nul — c’est toute la beauté de l’orthogonalité. Et dans $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$ , n’oublie jamais le double produit $2\,\vec{u} \cdot \vec{v}$ : $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 \neq \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2$ en général (l’égalité, c’est exactement Pythagore, donc l’orthogonalité).