Exercices — Le produit scalaire

1. Produit des abscisses plus produit des ordonnées : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 2 + 1 \times 4 = 6 + 4 = 10$.

2. $\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$ et $\|\vec{v}\| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

3. On isole le cosinus dans la formule $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\left(\vec{u}\,;\,\vec{v}\right)$ :

$\cos\left(\vec{u}\,;\,\vec{v}\right) = \frac{10}{\sqrt{10} \times 2\sqrt{5}} = \frac{10}{2\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(car $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$). C’est une valeur remarquable : l’angle vaut $\dfrac{\pi}{4}$.

4. Orthogonalité $\iff$ produit scalaire nul : $\vec{u} \cdot \vec{w} = 3t + 1 \times 6 = 0 \iff 3t = -6 \iff t = -2$.

Réflexe à retenir : en coordonnées, tout se calcule avec $xx' + yy'$ — le produit scalaire, l’orthogonalité, et même l’angle en repassant par $\cos\left(\vec{u}\,;\,\vec{v}\right) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$.

1. Le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$ est $B$ (car $(BC) \perp (AB)$ dans le carré). Donc :

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = AB^2 = 16$

Vérification avec le cosinus : la diagonale mesure $AC = 4\sqrt{2}$ et l’angle $\widehat{BAC} = 45^\circ$, donc $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \times 4\sqrt{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 16$ ✓.

2. $O$ est le milieu de la diagonale $[AC]$ : son projeté orthogonal sur $(AB)$ est le milieu $I$ de $[AB]$, avec $AI = 2$. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AI}$ sont de même sens :

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AO} = AB \times AI = 4 \times 2 = 8$

3. $(AD) \perp (AB)$ : les vecteurs sont orthogonaux, donc $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0$.

4. $\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{AB}$ (côtés opposés du carré, sens contraires), donc :

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} \cdot \left(-\overrightarrow{AB}\right) = -AB^2 = -16$

Réflexe à retenir : sur une figure avec des angles droits, projette avant de calculer — le projeté « écrase » le vecteur sur la droite, et il ne reste qu’un produit de longueurs avec un signe donné par le sens.

1. Par la relation de Chasles : $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$ (car $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$).

2. On prend la norme au carré et on développe (identité remarquable du produit scalaire) :

$a^2 = \left\|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\right\|^2 = \left\|\overrightarrow{AC}\right\|^2 - 2\,\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} + \left\|\overrightarrow{AB}\right\|^2$

Or $\left\|\overrightarrow{AC}\right\| = b$, $\left\|\overrightarrow{AB}\right\| = c$ et, par la formule du cosinus, $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = b \times c \times \cos\widehat{A}$. D’où :

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\,\cos\widehat{A}$

3. Avec $b = 5$, $c = 8$ et $\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$ :

$BC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \times 5 \times 8 \times \frac{1}{2} = 25 + 64 - 40 = 49 \qquad \text{donc} \qquad BC = 7$

4. Cette fois, l’inconnue est l’angle. On écrit Al-Kashi pour le côté opposé à $\widehat{A}$, c’est-à-dire $BC$ :

$4^2 = 6^2 + 5^2 - 2 \times 6 \times 5 \times \cos\widehat{A} \iff 16 = 61 - 60\cos\widehat{A} \iff \cos\widehat{A} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$

À la calculatrice (en mode degrés) : $\widehat{A} \approx 41{,}4^\circ$.

Réflexe à retenir : Al-Kashi relie trois côtés et un angle — repère d’abord le côté opposé à l’angle connu (ou cherché), c’est lui qui est seul à gauche du signe égal.

1. $I$ est le milieu de $[AB]$ : les vecteurs $\overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{IB}$ sont opposés, donc leur somme est nulle. De plus $\overrightarrow{IB} = -\overrightarrow{IA}$, donc :

$\overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{IA} \cdot \left(-\overrightarrow{IA}\right) = -IA^2 = -\left(\frac{AB}{2}\right)^2 = -\frac{AB^2}{4}$

2. On développe par bilinéarité :

$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = \left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}\right) \cdot \left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}\right) = MI^2 + \overrightarrow{MI} \cdot \left(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}\right) + \overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IB}$

Le terme du milieu est nul (question 1), et le dernier vaut $-\dfrac{AB^2}{4}$. D’où $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - \dfrac{AB^2}{4}$.

3. Avec $AB = 6$ : $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - 9 = 25 - 9 = 16$.

4. $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 \iff MI^2 = 9 \iff MI = 3$ : l’ensemble cherché est le cercle de centre $I$ et de rayon $3$, c’est-à-dire le cercle de diamètre $[AB]$. ($A$ et $B$ en font partie : en $M = A$, le vecteur $\overrightarrow{MA}$ est nul.)

5. $\overrightarrow{CA}\,(-2 - 2\,;\,1 - 5)$, soit $\overrightarrow{CA}\,(-4\,;\,-4)$, et $\overrightarrow{CB}\,(4 - 2\,;\,3 - 5)$, soit $\overrightarrow{CB}\,(2\,;\,-2)$. Alors :

$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = -4 \times 2 + (-4) \times (-2) = -8 + 8 = 0$

Les vecteurs sont orthogonaux : le triangle $ABC$ est rectangle en $C$ — autrement dit, $C$ est sur le cercle de diamètre $[AB]$.

Réflexe à retenir : dès que tu vois $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$, fais apparaitre le milieu $I$ de $[AB]$ avec Chasles — et souviens-toi de la conclusion : produit scalaire nul $=$ $M$ sur le cercle de diamètre $[AB]$.

1. On développe et on remplace par les données :

$\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2 \qquad \text{donc} \qquad 19 = 4 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + 9$

D’où $2\,\vec{u} \cdot \vec{v} = 19 - 13 = 6$, c’est-à-dire $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3$.

2. $\cos\left(\vec{u}\,;\,\vec{v}\right) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|} = \dfrac{3}{2 \times 3} = \dfrac{1}{2}$ : c’est une valeur remarquable, l’angle vaut $\dfrac{\pi}{3}$ (soit $60^\circ$).

3. Même développement avec le signe moins :

$\|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2 = 4 - 6 + 9 = 7 \qquad \text{donc} \qquad \|\vec{u} - \vec{v}\| = \sqrt{7}$

4. On calcule leur produit scalaire par bilinéarité :

$\left(\vec{u} + \vec{v}\right) \cdot \left(\vec{u} - \vec{v}\right) = \vec{u} \cdot \vec{u} - \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{u} - \vec{v} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2 = 4 - 9 = -5$

Le produit scalaire n’est pas nul : les vecteurs ne sont pas orthogonaux. (Remarque : dans un parallélogramme, les diagonales représentent $\vec{u} + \vec{v}$ et $\vec{u} - \vec{v}$ — elles sont perpendiculaires exactement quand $\|\vec{u}\| = \|\vec{v}\|$, c’est-à-dire pour un losange.)

Réflexe à retenir : quand l’énoncé ne donne que des normes, développe $\|\vec{u} \pm \vec{v}\|^2$ — ces identités remarquables sont la quatrième méthode de calcul du produit scalaire, celle qu’on oublie toujours.