Exercices — Les limites de suites

1. $n^2 \to +\infty$ et $n \to +\infty$ : par somme (avec la constante $1$), $u_n \to +\infty$.

2. $\dfrac{2}{n^2} \to 0$, donc par différence $u_n \to 3 - 0 = 3$.

3. $2 + \dfrac{1}{n} \to 2$ et $3 - \dfrac{1}{n^2} \to 3$ : par produit, $u_n \to 2 \times 3 = 6$.

4. $n^2 + 1 \to +\infty$, et l’inverse d’une suite qui tend vers $+\infty$ tend vers $0$ : $u_n \to 0$.

Réflexe à retenir : commence toujours par écrire la limite de chaque morceau, puis combine avec les règles d’opérations — et signale au passage qu’il n’y a pas de forme indéterminée.

1. Forme « $+\infty - \infty$ ». On factorise par $n^2$ :

$u_n = n^2\left(1 - \frac{10}{n}\right)$

Or $n^2 \to +\infty$ et $1 - \dfrac{10}{n} \to 1$ : par produit, $u_n \to +\infty$.

2. Même indétermination. $u_n = n^3\left(-1 + \dfrac{4}{n}\right)$, avec $n^3 \to +\infty$ et $-1 + \dfrac{4}{n} \to -1$ : par produit, $u_n \to -\infty$.

3. Forme « $\dfrac{\infty}{\infty}$ ». On factorise par $n^2$ en haut et en bas :

$u_n = \frac{n^2\left(4 + \frac{3}{n^2}\right)}{n^2\left(2 + \frac{1}{n}\right)} = \frac{4 + \frac{3}{n^2}}{2 + \frac{1}{n}} \to \frac{4}{2} = 2$

4. Forme « $\dfrac{\infty}{\infty}$ ». On factorise par $n$ en haut et par $n^2$ en bas :

$u_n = \frac{n\left(1 + \frac{5}{n}\right)}{n^2\left(1 + \frac{1}{n^2}\right)} = \frac{1}{n} \times \frac{1 + \frac{5}{n}}{1 + \frac{1}{n^2}}$

Or $\dfrac{1}{n} \to 0$ et la fraction tend vers $1$ : par produit, $u_n \to 0$.

Réflexe à retenir : face à « $\infty - \infty$ » ou « $\frac{\infty}{\infty}$ », factorise le terme dominant (la plus grande puissance de $n$) : lui seul décide de la limite.

1. Pour tout $n$, $(-1)^n \geq -1$, donc $u_n = n^2 + (-1)^n \geq n^2 - 1$. Or $n^2 - 1 \to +\infty$ : par le théorème de comparaison, $u_n \to +\infty$. (Pas besoin de connaître la limite de $(-1)^n$ — elle n’existe d’ailleurs pas.)

2. Pour tout $n \geq 1$, $-1 \leq \cos(n) \leq 1$, donc en divisant par $n^2 > 0$ :

$-\frac{1}{n^2} \leq \frac{\cos(n)}{n^2} \leq \frac{1}{n^2}$

Les deux suites encadrantes tendent vers $0$ : par le théorème des gendarmes, $v_n \to 0$.

3. On sépare la fraction : $w_n = \dfrac{2n}{n} + \dfrac{(-1)^n}{n} = 2 + \dfrac{(-1)^n}{n}$. Or $-\dfrac{1}{n} \leq \dfrac{(-1)^n}{n} \leq \dfrac{1}{n}$ et les deux bornes tendent vers $0$ : par les gendarmes, $\dfrac{(-1)^n}{n} \to 0$, puis par somme $w_n \to 2$.

Réflexe à retenir : $(-1)^n$ et $\cos(n)$ n’ont pas de limite, mais ils sont bornés — encadre-les entre $-1$ et $1$, puis laisse les gendarmes ou la comparaison faire le travail.

1. Comme $-1 < 0{,}8 < 1$, on a $0{,}8^n \to 0$, donc par produit $u_n \to 5 \times 0 = 0$.

2. Comme $2 > 1$, $2^n \to +\infty$ ; en multipliant par $-3 < 0$ : $v_n \to -\infty$.

3. Comme $-1 < -0{,}9 < 1$, le cours donne directement $w_n \to 0$. (On peut le retrouver avec les gendarmes : $-0{,}9^n \leq (-0{,}9)^n \leq 0{,}9^n$ et les deux bornes tendent vers $0$ — l’alternance des signes ne change rien.)

4. Formule de première (somme des termes d’une suite géométrique) :

$S_n = \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1 - \frac{1}{2}} = 2\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right) = 2 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n}$

Comme $-1 < \dfrac{1}{2} < 1$, $\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \to 0$, donc $S_n \to 2$. En ajoutant une infinité de morceaux de plus en plus petits, on s’approche de $2$ sans jamais le dépasser.

Réflexe à retenir : pour $q^n$, tout se joue sur la position de $q$ par rapport à $-1$ et $1$ — et pour une somme géométrique, applique la formule de première avant de passer à la limite.

1. $u_1 = \dfrac{1}{2} \times 8 + 2 = 6$, puis $u_2 = \dfrac{1}{2} \times 6 + 2 = 5$.

2. Notons $P(n)$ la propriété « $u_n \geq 4$ ».

• Initialisation : $u_0 = 8 \geq 4$, donc $P(0)$ est vraie.
• Hérédité : supposons $u_n \geq 4$ pour un certain entier naturel $n$. Alors $\dfrac{1}{2}u_n \geq 2$, donc $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 2 \geq 4$ : $P(n+1)$ est vraie.
• Conclusion : par récurrence, $u_n \geq 4$ pour tout entier naturel $n$.

3. On étudie le signe de la différence :

$u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2}u_n + 2 - u_n = 2 - \frac{1}{2}u_n = \frac{1}{2}\left(4 - u_n\right)$

D’après la question 2, $u_n \geq 4$, donc $4 - u_n \leq 0$ et $u_{n+1} - u_n \leq 0$ : la suite $(u_n)$ est décroissante.

4. La suite $(u_n)$ est décroissante (question 3) et minorée par $4$ (question 2) : d’après le théorème de la limite monotone, elle converge.

5. Pour tout entier naturel $n$ :

$v_{n+1} = u_{n+1} - 4 = \frac{1}{2}u_n + 2 - 4 = \frac{1}{2}u_n - 2 = \frac{1}{2}\left(u_n - 4\right) = \frac{1}{2}v_n$

Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 4 = 4$. Ainsi $v_n = 4 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$, puis :

$u_n = v_n + 4 = 4 + 4 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n$

Comme $-1 < \dfrac{1}{2} < 1$, $\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \to 0$, donc $u_n \to 4$. (Cohérent avec la question 4 : la limite existe, et on connaît maintenant sa valeur.)

Réflexe à retenir : c’est le scénario type bac en deux actes — acte 1 : minoration par récurrence + monotonie + théorème de la limite monotone pour prouver que la limite existe ; acte 2 : suite auxiliaire géométrique pour calculer sa valeur.