Les limites de suites

Que devient $u_n$ quand $n$ devient immense ? La suite se stabilise-t-elle autour d’une valeur, explose-t-elle vers l’infini, oscille-t-elle sans jamais choisir ? En première, tu calculais des termes ; en terminale, tu étudies leur comportement à l’infini. C’est l’entrée dans l’analyse « asymptotique » — et l’un des chapitres les plus rentables du bac.

Converger, diverger : les trois scénarios

• Limite finie : la suite $(u_n)$ converge vers le réel $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $u_n$ à partir d’un certain rang. Concrètement : les termes finissent par s’accumuler aussi près de $\ell$ qu’on veut. Exemple : $u_n = 4 + \dfrac{1}{n}$ converge vers $4$.
• Limite infinie : $(u_n)$ tend vers $+\infty$ si tout intervalle de la forme $[A\,;\,+\infty[$ contient toutes les valeurs $u_n$ à partir d’un certain rang — la suite finit par dépasser n’importe quel seuil $A$, aussi grand soit-il. Définition analogue pour $-\infty$.
• Ni l’un ni l’autre : certaines suites divergent sans limite, comme $u_n = (-1)^n$ qui oscille entre $-1$ et $1$ sans jamais se stabiliser.

Vocabulaire : « converger », c’est avoir une limite finie ; « diverger », c’est tout le reste — limite infinie ou absence de limite.

Opérations sur les limites et formes indéterminées

Sommes, produits, quotients : les limites se combinent presque toujours « comme on l’imagine » ($+\infty$ plus $+\infty$ donne $+\infty$, l’inverse d’une suite tendant vers $\pm\infty$ tend vers $0$…). Mais quatre situations ne permettent aucune conclusion directe — les formes indéterminées : « $+\infty - \infty$ », « $0 \times \infty$ », « $\dfrac{\infty}{\infty}$ » et « $\dfrac{0}{0}$ ». Chaque cas demande de transformer l’écriture avant de conclure.

Comparaison et gendarmes

• Théorème de comparaison : si $u_n \geq v_n$ à partir d’un certain rang et si $v_n \to +\infty$, alors $u_n \to +\infty$. (Version symétrique : majorée par une suite tendant vers $-\infty$.)
• Théorème des gendarmes : si $v_n \leq u_n \leq w_n$ à partir d’un certain rang et si $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la même limite $\ell$, alors $(u_n)$ converge vers $\ell$.

Exemple : pour $n \geq 1$, $-\dfrac{1}{n} \leq \dfrac{\cos(n)}{n} \leq \dfrac{1}{n}$, et les deux gendarmes tendent vers $0$ : donc $\dfrac{\cos(n)}{n} \to 0$ — alors que $\cos(n)$ tout seul n’a pas de limite. Ces théorèmes sont l’arme absolue contre les suites qui contiennent un morceau borné mais sans limite ($(-1)^n$, $\cos(n)$…).

La limite de qⁿ

Suites arithmétiques et géométriques

• Arithmétique ($u_n = u_0 + nr$) : si $r > 0$, la suite tend vers $+\infty$ ; si $r < 0$, vers $-\infty$ ; si $r = 0$, elle est constante. Une suite arithmétique ne converge donc jamais, sauf si elle est constante.
• Géométrique ($u_n = u_0 \times q^n$ avec $u_0 \neq 0$) : on applique le tableau de $q^n$ ci-dessus, en tenant compte du signe de $u_0$. Exemple : $u_n = -3 \times 2^n$ tend vers $-\infty$, et $u_n = 5 \times 0{,}8^n$ tend vers $0$.

Le théorème de la limite monotone

Une suite est majorée s’il existe un réel $M$ tel que $u_n \leq M$ pour tout $n$, minorée s’il existe $m$ tel que $u_n \geq m$ pour tout $n$, bornée si elle est les deux à la fois.

C’est un théorème d’existence : il garantit que la limite existe, mais ne dit pas combien elle vaut. Une suite croissante et majorée par $4$ converge vers un réel $\ell \leq 4$… pas forcément vers $4$ ! (Exemple : $u_n = 3 - \dfrac{1}{n}$, pour $n \geqslant 1$, est croissante, majorée par $4$, et converge vers $3$.) Pour trouver la valeur de la limite, on passe souvent par une suite auxiliaire géométrique.

Les pièges classiques