Primitives et équations différentielles

Un café qui refroidit, un parachutiste qui atteint sa vitesse limite, une population de bactéries qui double régulièrement : la physique et la biologie décrivent ces phénomènes par des équations d’un genre nouveau, où l’inconnue n’est pas un nombre mais une fonction. Ce sont les équations différentielles — et pour les résoudre, il faut d’abord apprendre à faire la dérivation… à l’envers. C’est la notion de primitive.

Une équation dont l’inconnue est une fonction

Une équation différentielle relie une fonction inconnue $y$ et sa dérivée $y'$ — par exemple $y' = 3y$ ou $y' = -2y + 4$. Résoudre l’équation, c’est trouver toutes les fonctions dérivables qui la vérifient. La plus simple est $y' = f$, où $f$ est une fonction donnée : ses solutions sont exactement les primitives de $f$.

La notion de primitive

Une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F' = f$. Deux résultats structurent tout le chapitre :

• Existence (admise ici, démontrée au chapitre du calcul intégral) : toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives. Certaines n’ont pourtant pas d’expression explicite : c’est le cas pour $x \mapsto e^{-x^2}$.
• Unicité à une constante près : si $F$ est une primitive de $f$, les primitives de $f$ sont exactement les $F + C$ avec $C \in \mathbb{R}$.

Le tableau des primitives usuelles

La recherche de primitive, c’est la lecture à l’envers du tableau des dérivées :

Fonction $f$	Une primitive $F$	Sur
$x^n$ ($n \in \mathbb{Z}$, $n \neq -1$)	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$	$\mathbb{R}$ si $n \geq 0$, $]0\,;\,+\infty[$ sinon
$\dfrac{1}{x^2}$	$-\dfrac{1}{x}$	$]0\,;\,+\infty[$
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x}$	$]0\,;\,+\infty[$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln(x)$	$]0\,;\,+\infty[$
$e^x$	$e^x$	$\mathbb{R}$
$\sin(x)$	$-\cos(x)$	$\mathbb{R}$
$\cos(x)$	$\sin(x)$	$\mathbb{R}$

Le réflexe en or : pour vérifier une primitive, dérive-la. Si tu retombes sur $f$, c’est gagné — aucune hésitation ne résiste à ce test.

Les formes composées

La formule de dérivation des fonctions composées, lue à l’envers, donne : une primitive de $(v' \circ u) \times u'$ est $v \circ u$. En pratique, trois formes à repérer :

• $u'e^u$ a pour primitive $e^u$ — exemple : $(2x+1)\,e^{x^2+x}$ a pour primitive $e^{x^2+x}$ ;
• $u'u^n$ ($n \neq -1$) a pour primitive $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ — exemple : $x(x^2+1)^3 = \dfrac{1}{2} \times 2x(x^2+1)^3$ a pour primitive $\dfrac{(x^2+1)^4}{8}$ ;
• $\dfrac{u'}{u}$ (avec $u > 0$) a pour primitive $\ln(u)$ — exemple : $\dfrac{2x}{x^2+3}$ a pour primitive $\ln(x^2+3)$.

Le jeu consiste à repérer $u$, puis à vérifier que $u'$ est en facteur — quitte à ajuster une constante multiplicative, comme dans le deuxième exemple.

Les équations y′ = ay et y′ = ay + b

Allure des courbes : si $a > 0$, les solutions non nulles s’éloignent de $0$ à toute vitesse (croissance exponentielle) ; si $a < 0$, elles tendent toutes vers $0$ en $+\infty$. Et quand l’équation est $y' = ay$, la somme de deux solutions et le produit d’une solution par une constante sont encore des solutions.

Pour $y' = ay + b$, la méthode tient en trois étapes :

1. Solution particulière constante : on cherche $y$ constante, donc $y' = 0$, d’où $0 = ay + b$ et $y = -\dfrac{b}{a}$.
2. Toutes les solutions : la solution particulière plus les solutions de $y' = ay$, soit $y(x) = Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}$.
3. Condition initiale : $y(x_0) = y_0$ fixe la valeur de $C$.

Comportement en $+\infty$ : si $a < 0$, alors $e^{ax} \to 0$ et toutes les solutions tendent vers $-\dfrac{b}{a}$, la solution d’équilibre — la température du café rejoint celle de la pièce, la vitesse du parachutiste se stabilise. Si $a > 0$, les solutions s’écartent de l’équilibre.

Le même principe se généralise : pour $y' = ay + f$, si l’on connaît une solution particulière $y_p$, toutes les solutions sont les $y_p + Ce^{ax}$.

Les pièges classiques